Líneas de transmisión y carta de Smith

Línea de transmisión sin pérdidas

Cuando la longitud de la línea no es pequeña frente a $λ$, la tensión y la corriente dependen de la posición. Una línea de impedancia característica $Z_0$ con $v = c/√(ε_r)$ tiene constante de fase $β = {2π}/λ$, con $λ = v/f$. Si termina en una carga $Z_L$, parte de la onda se refleja con el coeficiente

$Γ_L = {Z_L − Z_0}/{Z_L + Z_0}$,   $"ROE" = {1 + |Γ|}/{1 − |Γ|}$,   $"RL" = −20 log |Γ|$

La onda incidente y la reflejada forman una onda estacionaria: $|V|$ oscila entre $(1 + |Γ|)|V^+|$ y $(1 − |Γ|)|V^+|$, con un máximo cada $λ/2$ y un mínimo $λ/4$ después. La ROE es el cociente entre ambos; vale 1 si la carga está adaptada y crece sin límite al acercarse a un cortocircuito o a un circuito abierto.

Impedancia de entrada

$Z_"in" = Z_0 {Z_L + j Z_0 tg(β l)}/{Z_0 + j Z_L tg(β l)}$,   $Γ_"in" = Γ_L e^{−j 2 β l}$

Una línea de $λ/2$ repite la impedancia de la carga y una de $λ/4$ la invierte, $Z_"in" = Z_0^2/Z_L$. En un máximo de tensión la impedancia es real y vale $Z_0 "ROE"$; en un mínimo vale $Z_0/"ROE"$.

La carta de Smith

Es el plano del coeficiente de reflexión $Γ$ (el interior de un círculo de radio 1) con las impedancias normalizadas $z = Z/Z_0 = r + j x$ dibujadas encima: las circunferencias de $r$ constante y los arcos de $x$ constante. El centro es $z = 1$ (adaptación), el borde son las cargas puramente reactivas, el punto de la izquierda es el cortocircuito y el de la derecha el circuito abierto.

Desplazarse hacia el generador una distancia $d$ es girar en sentido horario sobre el círculo de ROE constante (radio $|Γ|$) un ángulo $4π d/λ$: una vuelta entera cada $λ/2$. Pasar de impedancia a admitancia es girar media vuelta, $y = 1/z$.

Adaptación de impedancias

Stub en paralelo. Se conecta en paralelo, a una distancia $d$ de la carga, un trozo de línea en cortocircuito o en abierto. Se elige $d$ para que allí la conductancia normalizada valga 1, $y = 1 + j b$ (la circunferencia $r = 1$ de la carta leída como admitancias, es decir, girada media vuelta), y la longitud $l_s$ del stub para que su susceptancia sea $−b$. Hay dos soluciones. Un stub en cortocircuito tiene $y_s = −j cot(β l_s)$ y uno en abierto $y_s = j tg(β l_s)$.

Transformador λ/4. Donde la impedancia es real (un máximo o un mínimo de tensión) se intercala un trozo de línea de longitud $λ/4$ y $Z_T = √(Z_0 Z_"real")$, que la lleva a $Z_0$.