Ley de Gauss para E · las cargas crean el campo eléctrico
$∮ E·dS = Q_{enc}/ε_0$
$∇·E = ρ/ε_0$
El flujo de E por una superficie cerrada solo depende de la carga que encierra. Con ella se calculan los campos de esferas, hilos y planos.
Ecuaciones de Maxwell
Las cuatro ecuaciones del electromagnetismo, en forma integral y diferencial, cada una con su calculadora paso a paso y un enlace al simulador donde verlas en acción.
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¿Este campo cumple las ecuaciones?
Para saber si un par $E(x, y, z, t)$ y $B(x, y, z, t)$ puede ser un campo electromagnético hay que comprobar las cuatro ecuaciones en forma diferencial: $∇·E = ρ/ε_0$, $∇·B = 0$, $∇×E = −∂B/∂t$ y $∇×B = μ_0 J + μ_0 ε_0 ∂E/∂t$. La calculadora «¿Cumple este campo las ecuaciones?» deriva exactamente lo que escribas, evalúa la diferencia entre los miembros en varios puntos y dice cuál falla. Una onda plana $E_y = E_0 cos(ωt − kz)$ solo cumple Faraday y Ampère–Maxwell si $B_x = −E_0/c · cos(ωt − kz)$ y $ω = ck$.
Las cuatro ecuaciones
Todo el electromagnetismo clásico cabe en cuatro ecuaciones y la fuerza de Lorentz. Cada una se escribe en forma integral (sobre una superficie o una curva, la que se usa en los problemas con simetría) y en forma diferencial (en cada punto), y las dos dicen lo mismo. Pulsa una para abrir su calculadora.
Ley de Gauss para B · no hay monopolos
$∮ B·dS = 0$
$∇·B = 0$
Las líneas del campo magnético son cerradas: lo que entra en una superficie cerrada sale.
Ley de Faraday · un B que cambia crea un E
$∮ E·dl = −{dΦ_B}/{dt}$
$∇ × E = −{∂B}/{∂t}$
La fem inducida en una espira es menos la derivada del flujo (ley de Lenz). Es el principio del generador y del transformador.
Ley de Ampère–Maxwell · corrientes y E variable crean B
$∮ B·dl = μ_0 I_{enc} + μ_0 ε_0 {dΦ_E}/{dt}$
$∇ × B = μ_0 J + μ_0 ε_0 {∂E}/{∂t}$
Maxwell añadió el último término, la corriente de desplazamiento, para que valga también entre las placas de un condensador. Con él aparecen las ondas.
El resultado: la luz es una onda · c = 1/√(μ₀ε₀)
$∇² E = μ_0 ε_0 {∂²E}/{∂t²}$
$c = 1/√{μ_0 ε_0} ≈ 3·10^8 "m/s"$
En el vacío, Faraday y Ampère–Maxwell se encadenan: un E que cambia crea un B que cambia, que crea un E… y se propaga a la velocidad de la luz.
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Integral y diferencial: dos teoremas
Se pasa de una forma a la otra con dos teoremas del cálculo vectorial. El de la divergencia, $∮ A·dS = ∫ ∇·A dV$, convierte los flujos por superficies cerradas (las dos leyes de Gauss) en divergencias. El de Stokes, $∮ A·dl = ∫ (∇ × A)·dS$, convierte las circulaciones (Faraday y Ampère–Maxwell) en rotacionales. Por eso las dos formas son equivalentes; la diferencial describe cada punto y la integral es la cómoda cuando hay simetría.
La carga se conserva
Si se toma la divergencia de la ley de Ampère–Maxwell y se usa la de Gauss, sale la ecuación de continuidad:
$∇·J + {∂ρ}/{∂t} = 0$
Sin la corriente de desplazamiento esta ecuación no saldría y la carga no se conservaría. Es la razón por la que Maxwell tuvo que añadirla.
En la materia
Dentro de un dieléctrico o un imán es cómodo meter las cargas y corrientes de la materia en dos campos nuevos, $D = ε_0 E + P$ y $H = B/μ_0 − M$. Entonces las ecuaciones que solo tocan las fuentes libres son $∇·D = ρ_{libre}$ y $∇ × H = J_{libre} + {∂D}/{∂t}$. En un medio lineal, $D = εE$ y $B = μH$, y la velocidad de las ondas es $v = 1/√{με}$.
La fuerza de Lorentz
Las ecuaciones dicen cómo se crean los campos; cómo actúan sobre una carga lo dice la fuerza de Lorentz:
$F = q (E + v × B)$
Juntas, las cuatro ecuaciones y esta fuerza explican todo lo que estudia la asignatura, desde la ley de Coulomb hasta las ondas de radio.
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son las ecuaciones de Maxwell?
En forma diferencial: ∇·E = ρ/ε₀ (Gauss), ∇·B = 0 (no hay monopolos magnéticos), ∇×E = −∂B/∂t (Faraday) y ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t (Ampère-Maxwell).
¿Cómo se pasa de la forma integral a la diferencial?
Con los teoremas de la divergencia y de Stokes: ∮E·dS = Q/ε₀ se convierte en ∇·E = ρ/ε₀, y ∮E·dl = −dΦ_B/dt en ∇×E = −∂B/∂t. De las cuatro sale la velocidad de las ondas electromagnéticas, 1/√(μ₀ε₀) = c.
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