Condensadores con dieléctricos

Qué hace un dieléctrico

Un dieléctrico es un aislante cuyas moléculas se polarizan en el campo: aparecen cargas de polarización en sus caras, de signo contrario a la armadura que tienen al lado, que debilitan el campo dentro. Por eso, con la misma carga libre, el campo y la tensión bajan un factor ε_r, y la capacidad sube ese mismo factor.

$D = ε_0 E + P = ε_0 ε_r E$,   $∮ D · dS = Q_libre$,   $σ_p = P · n$

Capas en serie y en paralelo

Si las capas se suceden en el sentido del campo (una lámina junto a otra entre las armaduras), D es el mismo en todas y cada capa es un condensador en serie: 1/C = Σ 1/C_i. Si el dieléctrico ocupa solo parte del área pero todo el espesor, todas las partes tienen la misma tensión y son condensadores en paralelo: C = Σ C_i.

Batería conectada o condensador aislado

• Con la batería, V se mantiene: al meter el dieléctrico la carga y la energía suben. La batería hace un trabajo ΔQ·V, el doble de lo que sube la energía; la otra mitad es el trabajo que hace el campo al tirar del dieléctrico hacia dentro.
• Aislado, Q se mantiene: la tensión y la energía bajan. La energía que falta es el trabajo del campo sobre el dieléctrico.

Sectores en cilindros y esferas

Si el dieléctrico ocupa una parte del ángulo (por ejemplo, media esfera con $ε_{r1}$ y la otra media con $ε_{r2}$), cada parte va de una armadura a la otra y todas están a la misma tensión: son condensadores en paralelo. E no depende del dieléctrico, solo D y la carga libre: $C = 4π ε_0 {a b}/{b − a} · (f_1 ε_{r1} + f_2 ε_{r2})$, con $f_i$ la fracción de la superficie.

Permitividad que cambia

Con $ε_r(x)$ variable, D sigue saliendo de Gauss y $1/C = ∫ dx/(ε_0 ε_r(x) S)$. En el plano con $ε_r$ lineal entre $ε_1$ y $ε_2$: $C = {ε_0 S (ε_2 − ε_1)}/{d ln(ε_2/ε_1)}$. Como P no es uniforme, además de las cargas de polarización de las caras aparece carga en volumen, $ρ_p = −∇·P$.

Fuerzas y rigidez

Las armaduras se atraen con $F = Q^2/(2 ε_0 S)$. Un dieléctrico a medio meter es empujado hacia dentro con $F = 1/2 V^2 {dC}/{dx}$. Cada material aguanta un campo máximo, su rigidez dieléctrica (unos 3 kV/mm el aire): la tensión máxima es la que lleva a ese límite la región con más campo respecto a su rigidez.

Asociaciones

En serie todos tienen la misma carga y $1/C_eq = Σ 1/C_i$; en paralelo, la misma tensión y $C_eq = Σ C_i$. Al conectar dos condensadores cargados la carga se conserva y se reparte hasta igualar la tensión, pero se pierde energía en la conexión.

Para el campo y el potencial de cargas, hilos, planos y esferas en el vacío, con la ley de Gauss paso a paso, usa el simulador de Electrostática.