Autoinducción e inducción mutua

Autoinducción

Una corriente I crea un campo B y, con él, un flujo a través del propio circuito. Ese flujo es proporcional a la corriente, y la constante es el coeficiente de autoinducción, que solo depende de la forma del circuito y del medio. Se mide en henrios (H = Wb/A).

$Φ = L I$,   $ε = −L {dI}/{dt}$,   $U = 1/2 L I^2 = ∫ B^2/(2μ) dV$

Para calcularlo: halla B con la ley de Ampère suponiendo una corriente I, integra el flujo por una espira y multiplica por el número de espiras. En un solenoide largo sale L = μ₀ N² S / l; en un toroide de sección rectangular, L = μ₀ N² h ln(b/a) / (2π).

Circuitos magnéticos y entrehierro

$ℛ = l/{μ S}$,   $Φ = {N I}/{ℛ_n + ℛ_g}$,   $L = N^2/ℛ$

Un núcleo con un hueco de aire es como dos resistencias en serie: la reluctancia del hueco, g/(μ₀S), suele pesar más que la de todo el núcleo, porque μ_r es muy grande. Por eso un entrehierro de milímetros reduce mucho L, pero la hace casi independiente del material.

Inducción mutua

Si la corriente de un circuito crea flujo en otro, Φ₂₁ = M I₁ y una corriente variable induce en el segundo ε₂ = −M dI₁/dt. El coeficiente es el mismo en los dos sentidos (M₁₂ = M₂₁), así que conviene calcularlo con el circuito cuyo campo sea fácil. El coeficiente de acoplamiento k = M / √(L₁ L₂) va de 0 a 1; vale 1 cuando todo el flujo de uno atraviesa el otro.

$L_{serie} = L_1 + L_2 ± 2M$,   $L_{paralelo} = {L_1 L_2 − M^2}/{L_1 + L_2 ∓ 2M}$

El signo de arriba vale cuando los flujos de las dos bobinas se suman, y el de abajo cuando se oponen. Para dos espiras coaxiales separadas una distancia z, si la pequeña es pequeña, M = μ₀π N₁N₂ R² r² / (2(R² + z²)^3/2); para una bobina dentro de un solenoide, M = μ₀ N₁ N₂ π r² cos θ / l.

Fuerza entre espiras

La energía de interacción de dos circuitos con corrientes fijas es $U = M I_1 I_2$ y la fuerza entre ellos $F = I_1 I_2 {dM}/{dz}$. Corrientes en el mismo sentido se atraen y opuestas se repelen. Para dos espiras coaxiales M se calcula exactamente con integrales elípticas; si la pequeña es mucho menor que la distancia, se comporta como un dipolo y $F ≈ −{3 μ_0 π N_1 N_2 I_1 I_2 R^2 r^2 z}/{2(R^2 + z^2)^{5/2}}$, que a gran distancia cae como $1/z^4$.

Circuito RL

La bobina se opone a los cambios de corriente: al cerrar el circuito la corriente no salta a ε/R, sino que crece con la constante de tiempo τ = L/R, y al quitar la fuente decae con esa misma τ mientras la bobina devuelve su energía, que se disipa en la resistencia.

$I(t) = ε/R (1 − e^{−t/τ})$,   $I(t) = I_0 e^{−t/τ}$,   $τ = L/R$

En la carga, la fuente da $W_ε = ε I_0 (t − τ(1 − e^{−t/τ}))$: una parte queda en la bobina, $1/2 L I^2$, y el resto se disipa en R. En la descarga se disipa toda la energía de la bobina. Si la fuente se conecta y desconecta una y otra vez, la corriente acaba oscilando entre un máximo y un mínimo fijos, con una media de $ε/R · t_{on}/T$.

Para la fem que aparece cuando cambia el flujo (barras que se mueven, espiras que giran, campos que cambian con el tiempo) usa Faraday y Lenz.