Inducción electromagnética: leyes de Faraday y Lenz

Flujo magnético

$Φ = N B S cos θ$   (en weber, $"Wb" = "T"·"m"^2$)

θ es el ángulo entre el campo B y la normal a la espira, y N el número de espiras. El flujo cambia si cambia el campo, la superficie o la orientación.

Ley de Faraday

$ε = −{dΦ}/{dt}$,   $ε_media = −{ΔΦ}/{Δt}$

Con una resistencia R la corriente es I = ε/R y la carga que pasa mientras el flujo cambia, q = |ΔΦ|/R, no depende del tiempo que tarde.

Ley de Lenz

El signo menos de la ley de Faraday: la corriente inducida circula en el sentido que crea un campo que se opone a la variación del flujo. Si el flujo entrante aumenta, la corriente crea un campo saliente (sentido antihorario visto de frente); si disminuye, uno entrante (sentido horario).

Fem de movimiento

$ε = B L v$,   $F = I L B = {B^2 L^2 v}/R$

Una barra de longitud L que se mueve con velocidad v perpendicular a B. La fuerza del campo sobre la corriente inducida frena la barra.

Alternador

$Φ(t) = N B S cos(ωt)$,   $ε(t) = N B S ω sen(ωt)$,   $ε_ef = ε_máx/√2$

Para que gire a velocidad constante hay que hacer un par medio M = P/ω, que es la potencia que se disipa en la carga dividida por la velocidad angular.

Hilo recto y espira

$Φ = {μ_0 N I h}/{2π} ln({d + w}/d)$,   $ε = {μ_0 N I h w v}/{2π d (d + w)}$

El campo del hilo no es uniforme, así que el flujo se integra por franjas paralelas al hilo. Si la espira se aleja con velocidad v el flujo baja; si la corriente cambia, ε = M dI/dt con M = μ₀ N h ln((d + w)/d)/(2π).

Campo que cambia con el tiempo

Con B(t) dado, $ε(t) = −N S cos θ · {dB}/{dt}$: por ejemplo, con $B = B_0 sen(ωt)$ sale $ε = −N S B_0 ω cos(ωt)$, desfasada un cuarto de periodo respecto al campo.

Velocidad límite

$m {dv}/{dt} = F − {B^2 L^2 v}/R$   ⇒   $v_L = {F R}/{B^2 L^2}$,   $τ = {m R}/{B^2 L^2}$

La fuerza magnética crece con la velocidad, así que la barra se acerca a una velocidad límite en la que equilibra a la fuerza que la mueve (o al peso si cae). Si se lanza y se suelta, frena exponencialmente y recorre v₀τ.

Si los raíles forman un ángulo θ con la horizontal, la fuerza que mueve la barra es $m g sen θ$ y la velocidad límite pasa a ser $v_L = {m g R sen θ}/{B^2 L^2}$; la corriente límite es $I_L = {m g sen θ}/{B L}$ y toda la potencia del peso se disipa en la resistencia.

Corrientes de Foucault

$⟨P⟩ = {π σ d a^4 B_0^2 ω^2}/{16}$ (disco),   $p = {σ B_0^2 ω^2 d^2}/{24}$ (lámina)

Un campo $B(t)$ crea un campo eléctrico $E$ que hace circular corrientes en lazos dentro de un metal. Calientan la pieza (cocina de inducción) y frenan lo que se mueve (freno magnético), pero en un transformador son pérdidas: por eso el núcleo se hace con láminas aisladas, y la potencia baja con el cuadrado del espesor. El modelo supone un campo uniforme y solo vale si la pieza es pequeña frente a la profundidad de penetración $δ = √{2/{ω μ_0 σ}}$.

Varilla y disco que giran

$ε = ∫_0^L B ω r dr = 1/2 B ω L^2$

Cada trozo de la varilla va a una velocidad distinta, v = ωr. En el disco de Faraday la fem aparece entre el eje y el borde y se recoge con escobillas: es un generador de corriente continua.

Los coeficientes de autoinducción e inducción mutua de solenoides, toroides y otras bobinas, y el circuito RL, están en Autoinducción e inducción mutua.