Fuerza magnética sobre cargas y corrientes

Trayectoria con E y B cualesquiera

Con $E$ y $B$ uniformes la ecuación $m dv/dt = q(E + v × B)$ se descompone respecto a $B$: a lo largo del campo la partícula se acelera con $a_∥ = q E_∥/m$; en el plano perpendicular gira con $ω_c = |q| B/m$ y se desplaza con la deriva $v_d = {E × B}/{B^2}$, igual para cualquier carga y masa. La herramienta la integra numéricamente (Runge-Kutta de orden 4) y la dibuja en 3D y en proyecciones; el campo magnético no hace trabajo, así que la energía solo cambia por $q E·Δr$.

Espejo magnético

Si el campo crece a lo largo de las líneas de B, $μ = m v_⊥^2/(2B)$ se conserva (invariante adiabático) y también la energía, de modo que al aumentar $B$ crece $v_⊥$ y baja $v_∥$ hasta que la partícula se refleja donde $B(z_t) = B_0/sen^2 α_0$. Solo escapa quien tiene $sen^2 α_0 < 1/R_m$, con $R_m = B_{máx}/B_0$ (cono de pérdidas). En la botella $B = B_0(1 + z^2/L^2)$ el punto de retorno es $z_t = L cot α_0$ y el periodo de rebote, $T_b = 2π L/v_⊥$.

Fuerza de Lorentz

$F = q (E + v × B)$,   $|F_m| = |q| v B sen θ$

La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad y al campo, y su sentido sale de la regla de la mano derecha (para una carga negativa, el contrario). Como es perpendicular a v, no hace trabajo: cambia la dirección de la velocidad pero no su módulo.

Movimiento en un campo uniforme

$r = {m v}/{|q| B}$,   $T = {2π m}/{|q| B}$,   $ω = {|q| B}/m$

Si v es perpendicular a B la trayectoria es una circunferencia. Si forma un ángulo θ, la componente $v_∥ = v cos θ$ no cambia y la partícula describe una hélice de radio ${m v sen θ}/{|q| B}$ y paso $p = v_∥ T$. El periodo no depende de la velocidad.

Carga que entra en una franja de campo

Si entra perpendicular al borde de una franja de anchura d, dentro describe un arco de radio r con el centro en el borde. Si $r > d$ la atraviesa desviada un ángulo α con $sen α = d/r$; si $r ≤ d$ da media vuelta y sale por donde entró, a 2r, tras medio periodo.

Selector de velocidades y espectrómetro de masas

Con E y B perpendiculares, las fuerzas eléctrica y magnética se anulan solo para $v = E/B$: esas partículas pasan sin desviarse. En el espectrómetro, con un campo B′, describen media circunferencia de radio $r = {m v}/{|q| B′}$, y las de distinta masa caen en sitios distintos: dos isótopos quedan separados $Δx = {2 v |m_2 − m_1|}/{|q| B′}$.

Campos E y B cruzados

Visto desde un sistema que avanza con la velocidad de deriva $v_d = E/B$ (en el sentido de E × B) solo queda el campo B, y la partícula gira. Sumando el avance, si parte del reposo describe una cicloide: se aleja $h = {2 m E}/{|q| B^2}$ de la recta inicial y llega a $v_{máx} = 2E/B$.

Efecto Hall

$V_H = {I B}/{n q t}$,   $R_H = 1/{n q}$

La fuerza magnética desvía los portadores hacia una cara de la lámina hasta que el campo Hall la equilibra ($q E_H = q v_d B$). El signo de $V_H$ dice si los portadores son electrones o huecos, y su valor da la densidad n; t es el grosor en la dirección de B.

Ciclotrón

Dos des en un campo B y una tensión alterna entre ellas de frecuencia $f = {|q| B}/{2π m}$. Cada media vuelta la partícula se acelera en el hueco; sale por el borde con $E_c = {q^2 B^2 R^2}/{2m}$.

Fuerza sobre corrientes

$F = I L × B$,   $|F| = I L B sen θ$

${F}/{L} = {μ_0 I_1 I_2}/{2π d}$

$m = N I S$,   $τ = m × B$,   $U = −m · B$

Sobre una espira en un campo uniforme la fuerza total es nula, pero hay un par $|τ| = N I S B sen θ$, con θ el ángulo entre la normal y B, que la orienta con m paralelo a B (así funcionan el motor eléctrico y el galvanómetro).

Dos hilos paralelos se atraen si las corrientes van en el mismo sentido y se repelen si van en sentidos contrarios. Con μ₀ = 4π·10⁻⁷ T·m/A. Para el campo que crean los hilos y las espiras usa Magnetostática.