Magnetostática: campo magnético y Biot-Savart

Cómo se calcula el campo magnético

La ley de Biot-Savart da el campo que crea un elemento de corriente I dl en un punto situado a una distancia r:

dB = μ₀I4π dl × rr³

Integrándola para las formas habituales salen las expresiones que usa la calculadora:

• Hilo indefinido a distancia d: B = μ₀I/(2πd), con las líneas de campo en circunferencias alrededor del hilo (regla de la mano derecha).
• Segmento: B = μ₀I/(4πd)·(cos α₁ − cos α₂), donde α₁ y α₂ son los ángulos entre la corriente y las rectas que unen cada extremo con el punto. Un hilo semiinfinito es el caso α₂ = π.
• Espira circular de radio R, en su eje a distancia z: B = μ₀I R²/(2(R² + z²)^3/2). Fuera del eje la integral no tiene forma sencilla y se calcula numéricamente.
• Arco de ángulo θ, en su centro: B = μ₀Iθ/(4πR).
• Solenoide de N espiras y longitud L, en el eje: B = μ₀NI/(2L)·(cos β₁ − cos β₂). Si es muy largo (ideal), B = μ₀NI/L dentro y 0 fuera.
• Toroide de N espiras, dentro del núcleo a distancia r del centro (ley de Ampère): B = μ₀NI/(2πr), y 0 fuera.
• Espira rectangular de lados a y b: la suma de sus cuatro lados; en el centro, B = 2μ₀I√(a² + b²)/(πab).
• Cilindro con corriente (macizo, hueco o de un cable coaxial), con la ley de Ampère: B = μ₀I_enc/(2πr). Con J uniforme, dentro de un cilindro macizo de radio R, I_enc = I r²/R²; con J ∝ r, I_enc = I r³/R³. En un coaxial, fuera del todo B = 0.
• Lámina de corriente indefinida con densidad K (A/m): B = μ₀K/2 a cada lado, paralelo a la lámina, perpendicular a K y con sentidos opuestos. Entre dos láminas con corrientes opuestas, B = μ₀K, y fuera, 0.
• Disco cargado que gira con densidad σ y velocidad angular ω: cada anillo lleva dI = σωr dr; en el centro, B = μ₀σωR/2.

El campo de varias fuentes es la suma vectorial de los campos de cada una (superposición). Con B se obtiene la fuerza de Lorentz sobre una carga, F = q v × B, y la fuerza sobre un conductor, F = ∫ I dl × B.

Dipolo magnético y potencial vector

Lejos de una espira, de un solenoide o de un disco que gira, el campo es el de un dipolo de momento $m = I S$ (hacia donde avanza un sacacorchos que gira con la corriente): $B ≈ {μ_0}/{4π r^3}[3(m·r̂)r̂ − m]$, con $μ_0 m/(2π r^3)$ en el eje y $μ_0 m/(4π r^3)$, de sentido opuesto, en el plano del lazo. La pregunta «Dipolo magnético» lo compara con Biot-Savart. El potencial vector $A = {μ_0}/{4π}∮ {I dl}/{|r − r′|}$ cumple $B = ∇ × A$ y $∮ A·dl = Φ$; en un solenoide ideal vale $μ_0 n I ρ/2$ dentro y $μ_0 n I R^2/(2ρ)$ fuera, donde B es cero pero A no.

Ejemplo resuelto: dos hilos paralelos

Dos hilos indefinidos paralelos al eje Z pasan por (−a, 0) y (a, 0) con la misma corriente I en sentidos opuestos. En el origen cada hilo está a distancia a y crea B = μ₀I/(2πa); los dos campos apuntan en +Y, así que se suman:

B(0) = μ₀Iπa u_y

La fuerza por unidad de longitud entre ellos es F/L = μ₀I²/(2π·2a) = μ₀I²/(4πa), repulsiva porque las corrientes son opuestas. Ábrelo en «Ejercicios de ejemplo», en la barra de Mis ejercicios, para ver el desarrollo completo.

Para ver cómo cambia el campo, añade la pregunta «Perfil de |B|» con dos puntos P y Q: sale la gráfica de |B| a lo largo de la recta. La fuerza sobre cargas y corrientes, con radios, ciclotrón o efecto Hall, está en Fuerza magnética.