Ondas electromagnéticas planas

La onda plana

Lejos de la fuente, una onda electromagnética armónica que avanza en la dirección k̂ tiene los campos

$E(r, t) = E_0 cos(k·r − ωt) Ê$,   $B(r, t) = B_0 cos(k·r − ωt) B̂$

E, B y k̂ son perpendiculares entre sí y forman un triedro a derechas: $B̂ = k̂ × Ê$. Los dos campos van en fase y sus amplitudes cumplen $E_0 = v B_0$. El número de onda es $k = {2π}/λ = ω/v$ y la velocidad $v = 1/√(μ ε)$: en el vacío $c = 1/√(μ_0 ε_0) ≈ 3·10^8$ m/s y en un material $v = c/n$, con $n = √(ε_r μ_r)$.

Polarización

Si E tiene dos componentes perpendiculares desfasadas, $E = E_{01} cos(k·r − ωt) ê_1 + E_{02} cos(k·r − ωt + δ) ê_2$, la punta de E describe una elipse en cada punto: es la polarización elíptica. Con $E_{01} = E_{02}$ y $δ = ±90°$ es una circunferencia (polarización circular) y |E| no cambia; con δ = 0° o 180° vuelve a ser lineal. La intensidad es la suma de las de las dos componentes, $I = {E_{01}^2 + E_{02}^2}/{2η}$.

Leer una onda desde su expresión

En $E_0 cos(k·r − ωt + φ)$ los coeficientes de x, y, z son las componentes del vector de onda k, y el de t es −ω. Si la fase lleva $+ωt$, la onda avanza hacia $−k$. La velocidad es $v = ω/k$: si sale c va por el vacío, y si sale menor, por un medio de índice $n = c/v$. Con B como dato, $E_0 = v B_0$ y $Ê = B̂ × k̂$.

Energía, intensidad y presión

La energía viaja con el vector de Poynting $S = {E × B}/μ$. Su valor medio es la intensidad, que depende de la impedancia del medio $η = √(μ/ε)$ (376,7 Ω en el vacío):

$I = ⟨S⟩ = {E_0^2}/{2η} = 1/2 ε v E_0^2$

Una onda también lleva cantidad de movimiento: sobre una superficie que la absorbe ejerce una presión $p = I/v$, y el doble si la refleja. Una fuente puntual de potencia P reparte la energía en esferas, así que $I = P/{4π r^2}$.

Polarizadores y ley de Malus

Un polarizador ideal solo deja pasar la componente de E paralela a su eje. Si la luz llega polarizada linealmente con un ángulo θ respecto al eje, $E = E_0 cos θ$ y, como la intensidad es proporcional a $E^2$, sale $I = I_0 cos^2 θ$ (ley de Malus). La luz natural, con todas las direcciones por igual, pierde la mitad en el primer polarizador: $I = I_0/2$. Dos polarizadores cruzados (a 90°) no dejan pasar nada, pero uno intermedio a 45° deja pasar $I_0/8$ de una luz natural.

El vector de Poynting y el balance de energía

El teorema de Poynting dice que la potencia que sale de un volumen es el flujo de $S = {E × B}/μ_0$ por su superficie, y que se reparte entre el aumento de la energía del campo y el calor que se disipa. En un hilo con corriente, E va a lo largo del hilo, B lo rodea y S entra por la superficie: $S·2π a L = I^2 R$. En un condensador que se carga, la corriente de desplazamiento crea B en el borde y S entra por los lados: su flujo es $dU/dt = V I$. En un cable coaxial la potencia $P = V I$ viaja por el dieléctrico entre los conductores.

Incidencia normal: reflexión y onda estacionaria

Cuando una onda llega perpendicular a la frontera con otro medio, se refleja una parte $r = {η_2 − η_1}/{η_2 + η_1}$ de la amplitud y se transmite $t = 1 + r$; de la energía se refleja $R = r^2$ y pasa $T = 1 − R$. Un conductor perfecto lo refleja todo con $r = −1$, y la suma de la onda que llega y la reflejada es una onda estacionaria, $E = 2E_0 sen(kz) sen(ωt)$, con nodos de E cada λ/2 que no se mueven.

Plasma e ionosfera

Los electrones libres de un plasma responden al campo con una corriente que cambia la relación de dispersión: $ω^2 = ω_p^2 + c^2 k^2$, con la frecuencia de plasma $ω_p = √({n_e e^2}/{ε_0 m_e})$ (numéricamente $f_p ≈ 8{,}98 √{n_e}$ Hz con $n_e$ en m^-3). Equivale a un índice $n = √(1 − ω_p^2/ω^2)$, menor que 1: por debajo de $ω_p$ la onda es evanescente y se refleja; por encima se propaga con velocidad de fase $v_f = c/n > c$ y de grupo $v_g = c n < c$, de modo que $v_f v_g = c^2$. En la ionosfera, con incidencia a un ángulo θ, la onda vuelve a la Tierra si $f ≤ f_p/cos θ$ (ley de la secante).

Suma de dos ondas

Como las ecuaciones de Maxwell son lineales, los campos se suman. Con dos frecuencias parecidas aparecen batidos: $E = 2A cos(π Δf t) cos(2π f̄ t)$, una oscilación a la frecuencia media con una envolvente que late a $|f_1 − f_2|$. Dos ondas iguales en sentidos opuestos forman una onda estacionaria con nodos cada λ/2; si la reflejada es menor, quedan nodos no nulos y la relación de onda estacionaria es $ROE = {A_1 + A_2}/{|A_1 − A_2|}$. Dos ondas perpendiculares con desfase δ componen una elipse (lineal si δ = 0° o 180°, circular si las amplitudes son iguales y δ = ±90°).

Láminas de retardo y cálculo de Jones

Una lámina de retardo retrasa la componente de E según su eje lento respecto de la del eje rápido: λ/4 introduce 90° y λ/2 introduce 180°. Una λ/4 a 45° de una luz lineal la hace circular; una λ/2 a un ángulo θ de la luz lineal la gira 2θ. En el cálculo de Jones la luz es un vector $(E_x, E_y)$ complejo y cada elemento una matriz de 2×2, de forma que el montaje es un producto de matrices.

Medios con pérdidas

En un medio con conductividad σ la onda se atenúa: $E = E_0 e^{−αz} cos(βz − ωt)$. Lo que decide el comportamiento es la tangente de pérdidas $σ/{ωε}$. Si es mucho mayor que 1 el medio es un buen conductor, $α ≈ β ≈ √(π f μ σ)$, y la onda solo entra una profundidad de penetración $δ = 1/α$ (efecto pelicular): en el cobre a 1 MHz son unas 66 μm. Si es mucho menor que 1 es un buen dieléctrico y apenas hay pérdidas.