Ecuación de Laplace numérica

La ecuación de Laplace

En una región sin cargas el potencial eléctrico cumple $∇² V = 0$. Sus soluciones son funciones armónicas: no tienen máximos ni mínimos en el interior, así que el potencial más alto y el más bajo están siempre en el borde. Y la solución queda fijada por completo cuando se conoce el potencial de todo el contorno (teorema de unicidad).

Propiedad del valor medio

El potencial en un punto es la media de sus valores sobre una circunferencia alrededor. En una malla cuadrada eso se traduce en que cada nodo vale la media de sus cuatro vecinos:

$V_{i,j} = {V_{i+1,j} + V_{i−1,j} + V_{i,j+1} + V_{i,j−1}}/4$

Relajación

Se empieza con un reparto cualquiera y se va sustituyendo cada nodo por la media de sus vecinos hasta que deja de cambiar. Jacobi calcula todos los nodos con los valores de la vuelta anterior; Gauss-Seidel usa ya los valores nuevos y tarda la mitad; SOR se pasa un poco del valor medio (sobrerrelajación, con $1 < ω < 2$) y para una malla de $N$ celdas necesita del orden de $N$ vueltas en lugar de $N^2$. Compara los tres con el selector de método.

Campo eléctrico

Una vez conocido el potencial, el campo es su gradiente cambiado de signo, $E = −∇V$: es perpendicular a las equipotenciales y apunta hacia donde el potencial baja. Sobre un conductor (el electrodo) el campo sale perpendicular a su superficie.

Ecuación de Poisson

Con carga en la región, $∇² V = −ρ/ε_0$. La relajación solo cambia en el término de la fuente: $V_{i,j} = {V_{i+1,j} + V_{i−1,j} + V_{i,j+1} + V_{i,j−1}}/4 + {ρ h^2}/{4 ε_0}$. Si la carga es uniforme entre dos placas a tierra, $V(x) = {ρ x (a − x)}/{2 ε_0}$.

Bordes aislantes, carga y capacidad

En un borde aislante el campo no lo atraviesa ($∂V/∂n = 0$) y se resuelve con un nodo espejo. La carga de cada conductor sale del flujo de Gauss, $Q' = ε_0 ∮ E_n dl$, y la capacidad por metro de dos conductores es $C' = Q'/ΔV$, que también vale $2W'/ΔV^2$ con la energía $W' = ½ ε_0 ∫ E^2 dA$.

Solución exacta en serie

Para una caja de lados $a$ y $b$ con un solo borde (el de arriba) a $V_0$ y los demás a 0, la solución exacta es una serie de Fourier, con $n$ impar:

$V(x, y) = ∑ {4V_0}/{nπ} · sen({nπx}/a) · {senh({nπy}/a)}/{senh({nπb}/a)}$

Los otros bordes aportan lo mismo girado, y por superposición vale para cualquier combinación. La herramienta la usa para medir el error de la malla cuando no hay electrodo.