Métodos numéricos

Raíces de ecuaciones

Casi ninguna ecuación como $cos x = x$ se puede despejar, pero sí acercarse a la solución tanto como se quiera. La bisección parte de un intervalo $[a, b]$ donde $f$ cambia de signo y lo divide por la mitad una y otra vez: es lenta, pero siempre funciona. Newton-Raphson sigue la tangente, $x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n)$, y cerca de la raíz duplica las cifras correctas en cada paso, aunque puede escaparse si empieza lejos o si $f′$ se anula. La secante hace lo mismo sin derivar, con la recta que pasa por los dos últimos puntos. El punto fijo escribe la ecuación como $x = g(x)$ e itera $x_{n+1} = g(x_n)$; converge si $|g′| < 1$ cerca de la solución.

Integración numérica

Para una integral sin primitiva, como la de $e^{−x^2}$, se parte $[a, b]$ en $n$ trozos de anchura $h$. La regla de los trapecios une los puntos con rectas y tiene un error del orden de $h^2$; la de Simpson pasa parábolas por cada tres puntos, necesita $n$ par y su error es del orden de $h^4$: con los mismos puntos, suele ser mucho más precisa.

Ecuaciones diferenciales

Para $y′ = f(x, y)$ con $y(x_0) = y_0$ se avanza a pasos de tamaño $h$. Euler sigue la tangente, $y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)$, y su error es proporcional a $h$. Heun promedia la pendiente al principio y al final del paso (error del orden de $h^2$), y Runge-Kutta 4 combina cuatro pendientes (error del orden de $h^4$): es el que usan casi todos los programas.