Convergencia de series
Escribe el término general de una serie y mira si converge: condición necesaria, geométrica, serie p, cociente, raíz, comparación y Leibniz, con la conclusión (absoluta o condicional), la suma y las sumas parciales.
Datos
Escribe aₙ con la variable n: 1/n^2, (−1)^n/n, 2^n/n!, n/(2n+1), ln(n)/n^2, √n/(n^2+1)… El factorial se escribe n! y el producto de potencias n^n. Los límites se estiman con valores grandes de n, así que son aproximados.
Resultados
Sumas parciales
Criterios
Desarrollo
Qué es converger
Una serie $∑ a_n$ converge si las sumas parciales $S_N = a_{n_0} + … + a_N$ se acercan a un número $S$ cuando $N → ∞$; si no, diverge. Si $∑ |a_n|$ converge, la serie converge absolutamente; si $∑ a_n$ converge pero $∑ |a_n|$ no, converge condicionalmente.
Los criterios
- Condición necesaria: si $a_n \not→ 0$, la serie diverge. Si $a_n → 0$ no se sabe nada (la armónica $∑ 1/n$ diverge).
- Geométrica $∑ r^n$: converge si $|r| < 1$ y su suma es $a_{n_0}/(1 − r)$.
- Serie p $∑ 1/n^p$: converge si y solo si $p > 1$. Si $a_n ≈ C/n^p$ para $n$ grande, se compara con ella (comparación en el límite).
- Cociente: $L = lím |a_{n+1}/a_n|$. Converge absolutamente si $L < 1$, diverge si $L > 1$ y no decide si $L = 1$.
- Raíz: $L = lím |a_n|^{1/n}$, con la misma regla.
- Leibniz: si los signos se alternan, $|a_n|$ decrece y $a_n → 0$, la serie converge, y el error de parar en $S_N$ es menor que $|a_{N+1}|$.
Criterio de la integral
Si $a_n = f(n)$ con $f$ positiva y decreciente desde un cierto $m$, la serie $∑ a_n$ y la integral impropia $∫_m^∞ f(x) dx$ convergen o divergen a la vez. Es el criterio que decide cuando el cociente y la raíz dan 1 y aparecen logaritmos: $∑ 1/(n \ ln n)$ diverge porque su primitiva $ln(ln x)$ crece sin parar, y $∑ 1/(n \ ln^2 n)$ converge porque la suya, $−1/ln x$, tiende a 0. La herramienta busca la primitiva y calcula el límite; si no hay primitiva elemental, estima la integral numéricamente y lo avisa.
$∫_{N+1}^{∞} f(x) dx ≤ ∑_{n=N+1}^{∞} a_n ≤ ∫_{N}^{∞} f(x) dx$
Esa desigualdad también encierra el resto de la serie, y con ella se da la suma de series que convergen tan despacio que sumar términos no basta.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se sabe si una serie converge?
Primero la condición necesaria: si aₙ no tiende a 0, diverge. Luego se prueba el criterio del cociente (L = lím |aₙ₊₁/aₙ|: converge si L < 1, diverge si L > 1), el de la raíz o la comparación con 1/nᵖ, que converge si p > 1. Por ejemplo, Σ 2ⁿ/n! tiene L = lím 2/(n + 1) = 0 y converge; su suma desde n = 0 es e² ≈ 7,389.
¿Qué diferencia hay entre convergencia absoluta y condicional?
Converge absolutamente si Σ|aₙ| converge, y condicionalmente si Σaₙ converge pero Σ|aₙ| no. Σ(−1)ⁿ/n² converge absolutamente (suma −π²/12), mientras que Σ(−1)ⁿ/n converge solo condicionalmente por el criterio de Leibniz (suma −ln 2).