Matrices paso a paso

Eliminación de Gauss

Con tres operaciones entre filas se lleva cualquier matriz a forma escalonada: intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero y sumarle a una fila un múltiplo de otra. Cada fila empieza con más ceros que la anterior, y el primer elemento no nulo de cada fila es su pivote. Si además cada pivote vale 1 y es el único no nulo de su columna, la matriz está en forma escalonada reducida (Gauss-Jordan).

El rango es el número de filas no nulas que quedan al escalonar. Coincide con el número de columnas (o de filas) linealmente independientes.

Determinante

Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante, intercambiar dos filas le cambia el signo y multiplicar una fila por k lo multiplica por k. Por eso basta con dejar la matriz triangular y multiplicar la diagonal. Para 2×2 y 3×3 se usan la regla del producto cruzado y la de Sarrus, y para matrices mayores el desarrollo de Laplace por la fila o columna con más ceros.

$|A| = Σ_j (−1)^{i+j} a_ij |A_ij|$

Inversa

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Por Gauss-Jordan se reduce [A | I] hasta que a la izquierda quede la identidad, y entonces a la derecha queda A⁻¹. Por adjuntos se usa la fórmula:

$A^{−1} = 1/{|A|} · ("Adj" A)^t$

Valores y vectores propios

λ es un valor propio de A si hay un vector v ≠ 0 con A v = λ v. Los valores propios son las raíces del polinomio característico |A − λI| = 0, y los vectores propios de cada λ son las soluciones no nulas de (A − λI) v = 0. La matriz es diagonalizable cuando cada valor propio tiene tantos vectores propios independientes como su multiplicidad. Entonces A = P D P⁻¹, con los vectores propios en las columnas de P y los valores propios en la diagonal de D. Así las potencias salen solas: Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹.

Si a algún valor propio le faltan vectores propios, la matriz no es diagonalizable, pero sí se puede llevar a su forma de Jordan J = P⁻¹ A P: casi diagonal, con un 1 encima de la diagonal en cada bloque. Las columnas de P forman cadenas de vectores propios generalizados, (A − λI) v₂ = v₁. Si A es simétrica real, siempre se puede diagonalizar con una matriz ortogonal Q (Q⁻¹ = Q^t), ortonormalizando los vectores propios con Gram-Schmidt.

Núcleo, imagen y subespacios

El núcleo de A son los vectores x con A·x = 0 y la imagen, los vectores y que se pueden escribir como A·x: el subespacio que generan las columnas. De la escalonada reducida sale todo: las filas no nulas son las ecuaciones implícitas del núcleo, las incógnitas sin pivote son los parámetros de sus ecuaciones paramétricas y las columnas de A con pivote son una base de la imagen. Las ecuaciones implícitas de la imagen salen del núcleo de la traspuesta. Siempre se cumple dim Ker A + dim Im A = número de columnas (teorema del rango).

Cuando un valor propio no es racional, como (1 ± √5)/2, sus vectores propios se dan con cuatro cifras y, en las matrices 2 × 2, también con radicales.

Con un parámetro

Cuando la matriz lleva una letra (k, a, m…), el determinante es un polinomio en ella. Sus raíces son los valores en los que A deja de tener inversa y el rango baja. Para el rango se busca el menor de mayor orden que no es 0 para casi todos los valores; el rango solo baja cuando todos los menores de ese orden se anulan a la vez, y en cada uno de esos valores se sustituye y se escalona.

Ecuaciones matriciales y LU

En A·X = B se despeja multiplicando por A⁻¹ por la izquierda, X = A⁻¹·B, y en X·A = B por la derecha, X = B·A⁻¹: el orden importa porque el producto de matrices no es conmutativo. La descomposición A = L·U guarda la eliminación de Gauss: U es la matriz escalonada y L, triangular inferior con unos en la diagonal, los multiplicadores de cada paso.