Sistemas de ecuaciones lineales

Teorema de Rouché-Frobenius

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se escribe A x = b, con A la matriz de coeficientes y A* = [A | b] la matriz ampliada. Comparando sus rangos se sabe cuántas soluciones tiene sin resolverlo:

• rang(A) = rang(A*) = n: compatible determinado, una única solución.
• rang(A) = rang(A*) < n: compatible indeterminado, infinitas soluciones que dependen de n − rang(A) parámetros.
• rang(A) < rang(A*): incompatible, sin solución. Al escalonar aparece una fila 0 = k con k ≠ 0.

Un sistema homogéneo (b = 0) siempre es compatible, porque x = 0 es solución. Tiene más soluciones si y solo si rang(A) < n.

Métodos

Gauss: se escalona la matriz ampliada y se despejan las incógnitas desde la última ecuación hacia arriba. Gauss-Jordan: se sigue reduciendo hasta que cada pivote vale 1 y es el único de su columna, y la solución se lee directamente. Cramer: si A es cuadrada y |A| ≠ 0, cada incógnita es un cociente de determinantes. Matriz inversa: en el mismo caso, x = A⁻¹ b.

$x_i = {|A_i|}/{|A|}$,   $A_i$ = A con la columna i cambiada por b

Con un parámetro

Si un coeficiente lleva una letra, como k, el tipo de sistema depende de su valor. En un sistema cuadrado se calcula |A|: para los valores en los que |A| ≠ 0 es compatible determinado, y cada valor que anula |A| se sustituye y se estudia aparte con Rouché-Frobenius. Si no es cuadrado, se buscan los valores en los que se anulan a la vez todos los menores del orden del rango.

Interpretación geométrica y mínimos cuadrados

Con dos incógnitas cada ecuación es una recta: compatible determinado es que se cortan en un punto, indeterminado que coinciden e incompatible que no tienen ningún punto común. Con tres incógnitas son planos, que pueden cortarse en un punto, en una recta (un haz de planos) o no tener ningún punto común (planos paralelos o un prisma). Cuando un sistema con más ecuaciones que incógnitas es incompatible, la solución por mínimos cuadrados es la que hace más pequeña la suma de los cuadrados de los errores: sale de A^tA x = A^tb, como la recta de regresión.

Reducción, igualación y sustitución

Son los métodos de siempre para sistemas de 2 o 3 ecuaciones. Reducción: se multiplican dos ecuaciones por los números adecuados y se restan para que desaparezca una incógnita. Igualación: se despeja la misma incógnita en todas las ecuaciones y se igualan las expresiones. Sustitución: se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en las demás. Cada paso deja un sistema con una incógnita menos; al final se vuelve hacia atrás para calcular las que se apartaron.

Con números complejos

Todo lo anterior vale igual con coeficientes complejos, como al plantear las mallas de un circuito de alterna con impedancias Z = R + jX: los pivotes se dividen como números complejos y el resultado sale en forma binómica.