Series de Fourier

La serie de Fourier

Una función periódica de periodo T (con frecuencia fundamental $ω_0 = 2π/T$) se puede escribir como una suma de senos y cosenos de frecuencias múltiplos de $ω_0$:

$f(x) ∼ {a_0}/{2} + Σ_{n=1}^{∞} (a_n cos(n ω_0 x) + b_n sen(n ω_0 x))$

Los coeficientes se obtienen integrando en un periodo cualquiera:

$a_n = {2}/{T} ∫_T f(x) cos(n ω_0 x) dx$,   $b_n = {2}/{T} ∫_T f(x) sen(n ω_0 x) dx$

y $a_0$ es el de n = 0, así que $a_0/2$ es el valor medio de f. Con periodo 2π, $ω_0 = 1$ y los factores son $1/π$.

Paridad

• Si f es par, $f(−x) = f(x)$, todos los $b_n$ son 0: serie de cosenos, con $a_n = {4}/{T} ∫_0^{T/2} f(x) cos(n ω_0 x) dx$.
• Si f es impar, $f(−x) = −f(x)$, $a_0$ y los $a_n$ son 0: serie de senos.

Una función dada solo en [0, L] se puede extender de forma par (y desarrollar en cosenos) o impar (en senos) a [−L, L]; es lo que se usa para resolver la ecuación del calor y la de ondas por separación de variables.

Convergencia y fenómeno de Gibbs

Si f es derivable a trozos, la serie converge a f(x) donde f es continua y, en un salto, a la media de los límites laterales. Cerca de un salto la suma parcial se pasa del valor de f en torno a un 9 % del salto, y ese pico no desaparece al sumar más términos: solo se estrecha.

Igualdad de Parseval

${2}/{T} ∫_T f(x)^2 dx = {a_0^2}/{2} + Σ_{n=1}^{∞} (a_n^2 + b_n^2)$

Dice cuánta «energía» lleva cada armónico, y sirve para sumar series: con $f(x) = x$ en [−π, π] sale $Σ 1/n^2 = π^2/6$. Lo mismo pasa al evaluar la serie en un punto: la onda cuadrada en x = π/2 da $1 − 1/3 + 1/5 − … = π/4$. Para aproximar con polinomios en vez de senos y cosenos usa Series de Taylor.

Forma compleja y forma amplitud-fase

Con $e^{iθ} = cos θ + i sen θ$ la serie se escribe con exponenciales, que es como se usa en señales:

$f(x) ∼ Σ_{n=−∞}^{∞} c_n e^{i n ω_0 x}$,   $c_n = {1}/{T} ∫_T f(x) e^{−i n ω_0 x} dx = {a_n − i b_n}/{2}$

y $c_{−n}$ es el conjugado de $c_n$ cuando f es real. Juntando el seno y el coseno de cada armónico también queda $f(x) ∼ {a_0}/{2} + Σ A_n cos(n ω_0 x + φ_n)$, con amplitud $A_n = √(a_n^2 + b_n^2) = 2|c_n|$ y fase $φ_n$: las $A_n$ son las barras del espectro.

Términos generales menos sencillos

No siempre sale $1/n$ o $1/n^2$: con $|sen x|$ el denominador es $n^2 − 1$ y la fórmula vale desde n = 2 (el primer coeficiente se calcula aparte), con $e^x$ aparecen $n^2 + 1$ y senh π, y en una onda trapezoidal sale $sen(nπ/2)$, que va 1, 0, −1, 0… Si los tramos dejan un hueco, ahí se toma f = 0.