Ecuaciones diferenciales

Primer orden: campo de pendientes y método de Euler

Una ecuación $y′ = f(x, y)$ da en cada punto del plano la pendiente de la solución que pasa por él. Dibujando esas pendientes se ve la forma de todas las soluciones sin resolver nada. El método de Euler avanza con pasos de tamaño h siguiendo la pendiente:

$y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)$,   $x_{n+1} = x_n + h$

Su error al final es proporcional a h: con la mitad de paso, más o menos la mitad de error. Heun (Euler mejorado) y el punto medio usan dos pendientes por paso y su error va como h²; Runge-Kutta de orden 4 (RK4) usa cuatro y su error va como h⁴. La tabla de comparación lo muestra: al partir h por la mitad, el error se divide por unos 2, 4 o 16.

Heun: $y_{n+1} = y_n + {h}/{2} (k_1 + k_2)$, $k_1 = f(x_n, y_n)$, $k_2 = f(x_n + h, y_n + h k_1)$

Primer orden con solución exacta

• Lineal, $y′ + p(x) y = q(x)$: con el factor integrante $μ = e^{∫ p dx}$ queda $(μ y)′ = μ q$, así que $y = {1}/{μ} (∫ μ q dx + C)$. Si p es constante, $y = C e^{−p x} + y_p$.
• Variables separables, $y′ = g(x) h(y)$: $∫ {dy}/{h(y)} = ∫ g(x) dx + C$, y se despeja y si se puede. La logística $y′ = y(1 − y)$ da $y = {1}/{1 + K e^{−x}}$.
• Bernoulli, $y′ = p(x) y + q(x) y^n$: el cambio $v = y^{1 − n}$ la deja lineal, $v′ = (1 − n)(p v + q)$.
• Exacta, $M dx + N dy = 0$ con $∂M/∂y = ∂N/∂x$: hay un potencial Φ con $Φ_x = M$, $Φ_y = N$, y la solución es $Φ(x, y) = C$.

Segundo orden con coeficientes constantes

Para $a y″ + b y′ + c y = g(x)$ se prueba $y = e^{λx}$ en la homogénea, y sale la ecuación característica $a λ^2 + b λ + c = 0$:

• Dos raíces reales distintas: $y_h = C_1 e^{λ_1 x} + C_2 e^{λ_2 x}$.
• Una raíz doble: $y_h = (C_1 + C_2 x) e^{λx}$.
• Complejas $λ = α ± β i$: $y_h = e^{αx} (C_1 cos βx + C_2 sen βx)$.

La particular se busca con la misma forma que g(x) (coeficientes indeterminados). Si esa forma ya es solución de la homogénea hay resonancia y se multiplica por x. Por ejemplo, $y″ + y = cos x$ da $y_p = {x sen x}/{2}$, que crece sin límite. Las constantes $C_1$ y $C_2$ salen de $y(x_0)$ y $y′(x_0)$.

Si g(x) no tiene esa forma (tg x, 1/cos x, eˣ/x) se usa variación de parámetros: $y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2$ con $u_1 = −∫ {y_2 g}/{a W} dx$ y $u_2 = ∫ {y_1 g}/{a W} dx$, donde $W = y_1 y_2′ − y_1′ y_2$ es el wronskiano.

Orden 3 y 4, y Cauchy-Euler

Con orden n la ecuación característica tiene n raíces, y cada raíz de multiplicidad k da k soluciones: $e^{λx}, x e^{λx}, …, x^{k−1} e^{λx}$. Hacen falta n condiciones iniciales, $y(x_0), y′(x_0), …$

La de Cauchy-Euler lleva cada derivada k-ésima multiplicada por $x^k$, como $x^2 y″ + b x y′ + c y = 0$. Probando $y = x^r$ sale la ecuación indicial $r(r − 1) + b r + c = 0$: dos raíces reales dan $x^{r_1}$ y $x^{r_2}$; una doble, $x^r$ y $x^r ln x$; y unas complejas $α ± βi$, $x^α cos(β ln x)$ y $x^α sen(β ln x)$. Es lo mismo que hacer el cambio $x = e^t$.

Sistemas y diagrama de fases

En un sistema $x′ = f(x, y)$, $y′ = g(x, y)$ cada punto del plano tiene una velocidad, y las soluciones son curvas que la siguen. Los puntos críticos son donde $f = g = 0$. Cerca de cada uno el sistema se parece a su linealización con la matriz jacobiana, y sus autovalores dicen el tipo:

• Reales de signo contrario: punto de silla (inestable).
• Reales del mismo signo: nodo, estable si son negativos.
• Complejos: foco (espiral), estable si la parte real es negativa; con parte real 0, centro.

Para matrices y autovalores en general usa Matrices.