Derivadas e integrales

Reglas de derivación

• Suma y constante: $(u + v)′ = u′ + v′$,   $(k u)′ = k u′$
• Producto: $(u v)′ = u′ v + u v′$
• Cociente: $({u}/{v})′ = {u′ v − u v′}/{v^{2}}$
• Cadena: $(f(u))′ = f′(u) · u′$; por ejemplo $(e^{u})′ = e^{u} u′$ y $(u^{n})′ = n u^{n−1} u′$

La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente: $y − f(x_0) = f′(x_0)(x − x_0)$. Donde $f′ = 0$ la tangente es horizontal: si $f″ > 0$ hay un mínimo y si $f″ < 0$, un máximo.

Métodos de integración

• Tabla: $∫ x^{n} dx = {x^{n+1}}/{n + 1}$ ($n ≠ −1$), $∫ {dx}/{x} = ln |x|$, $∫ e^{x} dx = e^{x}$, $∫ sen x dx = −cos x$…
• Sustitución: si aparece $f(g(x)) g′(x)$, con $u = g(x)$ queda $∫ f(u) du$. Por ejemplo $∫ x e^{x^{2}} dx = {e^{x^{2}}}/{2}$.
• Por partes: $∫ u dv = u v − ∫ v du$. Para un polinomio por $e^{x}$, sen o cos, u es el polinomio; con ln o arctg, u es la función.
• Fracciones simples: un cociente de polinomios se separa en fracciones con los factores del denominador, que dan logaritmos y arcotangentes.
• Productos de senos y cosenos: se pasan a sumas, $sen A cos B = {1}/{2} [sen(A + B) + sen(A − B)]$, y lo mismo con $cos A cos B$ y $sen A sen B$.
• Cambios trigonométricos: con $√(a^{2} − x^{2})$ se hace $x = a sen t$, que da $∫ √(a^{2} − x^{2}) dx = {x}/{2} √(a^{2} − x^{2}) + {a^{2}}/{2} arcsen {x}/{a}$; con $√(x^{2} ± a^{2})$, $x = a tg t$ o $x = a sec t$ (o senh y cosh), que dan logaritmos.

Integral definida

$∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)$

Es la regla de Barrow, con F cualquier primitiva. Mide el área con signo: lo que queda debajo del eje resta. Algunas funciones, como e^−x², no tienen primitiva elemental, y entonces la integral se calcula de forma numérica.

Integrales impropias

Si un límite es infinito, o f no está acotada en algún punto del intervalo, la integral se define como un límite: $∫_{1}^{∞} f(x) dx = lím_{R→∞} ∫_{1}^{R} f(x) dx$. Si el límite es un número, la integral converge; si no, diverge. Por ejemplo $∫_{1}^{∞} {dx}/{x^{2}} = 1$ converge pero $∫_{1}^{∞} {dx}/{x}$ diverge, y $∫_{0}^{1} {dx}/{√x} = 2$ converge aunque f se vaya a infinito en 0. Con una asíntota dentro del intervalo se parte en dos integrales, y las dos tienen que converger.

Área entre curvas y volúmenes de revolución

• Área entre f y g: $A = ∫_{a}^{b} |f(x) − g(x)| dx$. Se buscan los puntos de corte ($f = g$) y en cada trozo se resta la de abajo a la de arriba.
• Alrededor del eje x (discos o arandelas): $V = π ∫_{a}^{b} (f^{2} − g^{2}) dx$.
• Alrededor del eje y (capas cilíndricas): $V = 2π ∫_{a}^{b} x (f − g) dx$, con $x ≥ 0$.

Límites con la regla de L'Hôpital

Si $lím u/v$ es de la forma $0/0$ o $∞/∞$, vale lo mismo que $lím u′/v′$ (si este existe), y se puede repetir. Las otras indeterminaciones se llevan a esas: $0 · ∞$ como $u/(1/v)$, $∞ − ∞$ con denominador común, y $1^{∞}$, $0^{0}$, $∞^{0}$ tomando logaritmos, porque $u^{v} = e^{v ln u}$. Así sale, por ejemplo, $lím_{x→∞} (1 + 1/x)^{x} = e$.

Estudio de una función

Dominio, simetría (par o impar), cortes con los ejes, asíntotas (verticales donde f se va a infinito, horizontales con el límite en ±∞, y oblicuas y = mx + n con m = lím f/x y n = lím (f − mx)), monotonía y extremos con el signo de f′, y curvatura y puntos de inflexión con el signo de f″.

Derivación implícita y derivadas parciales

Si la curva viene dada por una ecuación $F(x, y) = 0$, se deriva pensando que y depende de x y se despeja: $y′ = −F_{x}/F_{y}$. Para una función de dos variables, $f_{x}$ se calcula derivando en x con y constante (y al revés); el gradiente $∇f = (f_{x}, f_{y})$ apunta hacia donde f crece más deprisa. En un punto crítico ($∇f = 0$) el hessiano $D = f_{xx} f_{yy} − f_{xy}^{2}$ dice si es un mínimo ($D > 0$, $f_{xx} > 0$), un máximo ($D > 0$, $f_{xx} < 0$) o un punto de silla ($D < 0$).

Para desarrollos en serie usa Series de Taylor, y para gradientes y derivadas parciales, Campos vectoriales.