Transformada de Laplace

Qué es la transformada de Laplace

Convierte una función del tiempo f(t), definida para $t ≥ 0$, en una función F(s) de una variable s:

$F(s) = ℒ\{f(t)\} = ∫_0^∞ e^{−st} f(t) dt$

La integral solo converge para s mayor que un cierto valor: por ejemplo, la de e^at existe para s > a. Lo útil es que derivar en t pasa a ser multiplicar por s, así que una ecuación diferencial se vuelve una ecuación algebraica.

Tabla básica y propiedades

• $ℒ\{1\} = {1}/{s}$,   $ℒ\{t^{n}\} = {n!}/{s^{n+1}}$,   $ℒ\{e^{at}\} = {1}/{s − a}$
• $ℒ\{sen(bt)\} = {b}/{s^{2} + b^{2}}$,   $ℒ\{cos(bt)\} = {s}/{s^{2} + b^{2}}$
• $ℒ\{senh(at)\} = {a}/{s^{2} − a^{2}}$,   $ℒ\{cosh(at)\} = {s}/{s^{2} − a^{2}}$
• Desplazamiento en s: $ℒ\{e^{at} f(t)\} = F(s − a)$
• Multiplicar por t: $ℒ\{t^{n} f(t)\} = (−1)^{n} {d^{n}F}/{ds^{n}}$
• Derivadas: $ℒ\{y′\} = sY − y(0)$,   $ℒ\{y″\} = s^{2}Y − s y(0) − y′(0)$
• Productos de senos y cosenos: se pasan a sumas antes de transformar, $sen^{2} t = {1}/{2} − {1}/{2} cos (2 t)$,   $sen A cos B = {1}/{2} [sen(A + B) + sen(A − B)]$

Escalón, delta y funciones a trozos

El escalón unitario $u(t − a)$ (o de Heaviside, $H(t − a)$) vale 0 antes de $t = a$ y 1 después. Sirve para encender y apagar señales, y una función a trozos se escribe con escalones: $f(t) = g_{1}(t) [u(t) − u(t − a)] + g_{2}(t) u(t − a)$.

• Segundo teorema de traslación: $ℒ\{u(t − a) g(t)\} = e^{−as} ℒ\{g(t + a)\}$, y en particular $ℒ\{u(t − a) f(t − a)\} = e^{−as} F(s)$.
• Delta de Dirac: $ℒ\{δ(t − a)\} = e^{−as}$. Es un impulso en $t = a$ de área 1, y $g(t) δ(t − a) = g(a) δ(t − a)$.
• En la inversa, cada $e^{−as}$ retrasa su parte: $ℒ^{−1}\{e^{−as} F(s)\} = u(t − a) f(t − a)$, y una constante sola da una delta.

Escribe las funciones a trozos como «t si 0 ≤ t < 2; 4 − t si 2 ≤ t < 4; 0 si t ≥ 4», con los trozos separados por punto y coma.

Inversa por fracciones simples

Si F(s) es un cociente de polinomios con el numerador de menor grado, se buscan las raíces del denominador (los polos) y se separa en fracciones que están en la tabla:

• Polo simple p: $A/(s − p)$, con $A = [(s − p) F(s)]_{s = p}$. Da $A e^{pt}$.
• Polo doble p: $A_1/(s − p) + A_2/(s − p)^{2}$. Da $(A_1 + A_2 t) e^{pt}$.
• Par complejo $α ± βi$: $(Bs + C)/((s − α)^{2} + β^{2})$. Da $e^{αt}$ por un seno y un coseno de βt.

Por eso los polos dicen cómo es f(t) sin calcularla: a la izquierda del eje imaginario los términos se apagan, sobre él oscilan sin pararse y a la derecha crecen.

Valores inicial y final

$f(0^{+}) = lím_{s→∞} s F(s)$,   $lím_{t→∞} f(t) = lím_{s→0} s F(s)$

El del valor final solo vale si f(t) tiende a algo: todos los polos de s F(s) a la izquierda del eje imaginario.

Ecuaciones diferenciales

Para $a y″ + b y′ + c y = g(t)$ con y(0) e y′(0) se transforman los dos lados, se despeja Y(s) y se hace la inversa. Las condiciones iniciales entran solas, sin calcular constantes al final. Por ejemplo, $y″ + y = sen t$ con todo en reposo da $Y(s) = 1/(s^{2} + 1)^{2}$, un polo doble en ±i, y la solución $y = {1}/{2} sen t − {1}/{2} t cos t$ crece sin límite: es la resonancia.

Función de transferencia y convolución

Con condiciones iniciales nulas, $Y(s) = H(s) G(s)$ con $H(s) = 1/(a s^{2} + b s + c)$. La inversa $h(t)$ es la respuesta al impulso, y la de $H(s)/s$, la respuesta al escalón. El producto de transformadas corresponde a la convolución:

$(f * g)(t) = ∫_{0}^{t} f(τ) g(t − τ) dτ$,   $ℒ\{f * g\} = F(s) G(s)$

Así que la respuesta a cualquier entrada es $y = h * g$: por ejemplo, $sen t * cos t = {1}/{2} t sen t$.

Sistemas de ecuaciones

Para $x′ = a_{11} x + a_{12} y + f(t)$, $y′ = a_{21} x + a_{22} y + g(t)$ se transforman las dos ecuaciones y queda un sistema lineal en X(s) e Y(s), que se resuelve por Cramer con $Δ(s) = (s − a_{11})(s − a_{22}) − a_{12} a_{21}$. Las raíces de Δ son los autovalores de la matriz del sistema.

Para resolverlas sin Laplace (coeficientes indeterminados) usa Ecuaciones diferenciales, y para los circuitos RC, RL y RLC, Simulador de circuitos (osciloscopio).