Oscilaciones: MAS, amortiguado y forzado

Movimiento armónico simple

Un cuerpo de masa $m$ unido a un muelle de constante $k$ sufre una fuerza $F = −k x$, y su ecuación $m x″ = −k x$ tiene como solución $x = A cos(ω t + φ)$ con $ω = √(k/m)$. El periodo $T = 2π/ω$ no depende de la amplitud. La velocidad es $v = −A ω sin(ω t + φ)$, la aceleración $a = −ω^2 x$, y la energía total $E = 1/2 k A^2$ pasa de cinética a potencial sin perderse.

El péndulo simple

Para ángulos pequeños, $sin θ ≈ θ$ y el péndulo cumple $ω = √(g/L)$, sin depender de la masa. Con amplitudes grandes el periodo real es mayor; la herramienta lo calcula con la media aritmético-geométrica y lo compara con el aproximado.

Oscilador amortiguado

Con un rozamiento $−b v$ la ecuación es $m x″ + b x′ + k x = 0$. Con $γ = b/2m$ y $ω_0 = √(k/m)$ hay tres casos: si $γ < ω_0$ oscila con $ω_d = √(ω_0^2 − γ^2)$ dentro de una envolvente $e^{−γ t}$; si $γ = ω_0$ es crítico y vuelve al equilibrio lo más deprisa posible sin oscilar (así se diseñan los amortiguadores de una puerta); si $γ > ω_0$ está sobreamortiguado y regresa despacio. El factor de calidad $Q = ω_0/(2γ)$ mide lo poco amortiguado que está.

Oscilador forzado y resonancia

Con una fuerza $F_0 cos(ω t)$, pasado el transitorio el cuerpo oscila a la frecuencia de la fuerza con amplitud $A = {F_0/m}/√((ω_0^2 − ω^2)^2 + 4γ^2ω^2)$, retrasado un ángulo $δ$ respecto a ella. La amplitud es máxima cerca de $ω_r = √(ω_0^2 − 2γ^2)$: es la resonancia, tanto más estrecha y alta cuanto menor es el rozamiento. Es lo que hace sonar una copa con la voz o lo que se evita en los puentes y los edificios con terremotos.