Convolución y señales

Qué es la convolución

La convolución de dos señales mezcla una con la otra: $y(t) = (x * h)(t) = ∫_{−∞}^{∞} x(τ) h(t − τ) dτ$. Para cada instante $t$ se da la vuelta a $h$, se mueve hasta $t$ y se mide el área de su producto con $x$. Eso es lo que anima la gráfica de arriba.

Si $x(t)$ es la entrada de un sistema lineal e invariante en el tiempo (un circuito de resistencias, condensadores y bobinas lo es) y $h(t)$ su respuesta al impulso, la salida es justo $y = x * h$: cada instante de la entrada es un impulso pequeño, el sistema responde a cada uno con $h$ y la salida es la suma de todas esas respuestas.

Propiedades que conviene recordar

Es conmutativa, $x * h = h * x$, así que da igual cuál de las dos se refleje. La duración de $y$ es la suma de las duraciones, y su área es el producto de las áreas: $∫ y = (∫ x)(∫ h)$. Con un impulso se desplaza sin cambiar: $x(t) * δ(t − a) = x(t − a)$. Un retardo puro es entonces un impulso retrasado.

Respuesta al escalón

Si la entrada es el escalón $u(t)$, la salida es la integral de la respuesta al impulso: $s(t) = ∫_{0}^{t} h(τ) dτ$, y al revés, $h(t) = ds/dt$. De $s(t)$ salen los datos que se miden en el laboratorio: el tiempo de subida (de 10 % a 90 % del valor final), la sobreoscilación (cuánto se pasa) y el tiempo de establecimiento (cuándo se queda a menos de un 2 % del final).

Filtros RC y RLC

Un filtro RC paso bajo tiene $τ = R C$, $h(t) = {1}/{τ} e^{−t/τ} u(t)$ y $s(t) = 1 − e^{−t/τ}$: no se pasa nunca y tarda $2{,}2 τ$ en subir del 10 % al 90 %. Un RLC serie (con la salida en el condensador) tiene $ω_0 = 1/√(L C)$ y $ζ = {R}/{2} √(C/L)$. Si $ζ < 1$ oscila al subir y se pasa un $e^{−πζ/√(1 − ζ^2)}$ del valor final; con $ζ = 1$ es la respuesta más rápida sin pasarse; con $ζ > 1$ es lenta pero sin oscilar.

Filtros RL, paso alto y paso banda

Un RL con la salida en la resistencia es un paso bajo con $τ = L/R$. Si la salida se toma en la resistencia de un RC, el filtro es un paso alto: $H(s) = sτ/(1 + sτ)$ y $h(t) = δ(t) − {1}/{τ} e^{−t/τ} u(t)$, con área 0 porque bloquea la continua; la respuesta al escalón arranca en 1 y se apaga como $e^{−t/τ}$. El RLC con la salida en la resistencia es un paso banda: $H(s) = 2ζω_0 s/(s^2 + 2ζω_0 s + ω_0^2)$, también de área 0 (no pasa la continua) y con su respuesta máxima cerca de $ω_0$.

Convolución discreta

Con señales muestreadas la integral pasa a ser una suma: $y[n] = ∑_k x[k]\,h[n − k]$. Si $x$ tiene $N$ valores y $h$ tiene $M$, $y$ tiene $N + M − 1$ y empieza en la suma de los índices iniciales; la suma de $y$ es el producto de las sumas. Es también la multiplicación de polinomios: los coeficientes de $(1 + 2z + 3z^2)(1 + z)$ son $\{1, 3, 5, 3\}$. La media móvil de tres muestras es la convolución con $\{1/3, 1/3, 1/3\}$.

Cómo escribir los datos

Los tiempos van en segundos y admiten prefijos: 2m o 2 ms son dos milisegundos, 10µ diez microsegundos. Los componentes también: 4k7 son 4,7 kΩ, 100n son 100 nF. La coma decimal vale. En el modo de dos señales los números no tienen por qué ser segundos: sirve para cualquier unidad.