Sistemas de numeración

Sistemas posicionales

En un sistema de base $b$ cada cifra pesa una potencia de $b$ según su posición: $N = ∑ c_i · b^i$. Binario: $b = 2$ (cifras 0 y 1). Hexadecimal: $b = 16$ (0-9 y A-F), con lo que cada cifra equivale a 4 bits.

$N = c_{n−1}·b^{n−1} + … + c_1·b + c_0$

Complemento a 2

Con $n$ bits el primer bit pesa $−2^{n−1}$ y el resto pesa en positivo, así que se representan los enteros de $−2^{n−1}$ a $2^{n−1} − 1$. Para escribir un negativo: se pone su valor absoluto en $n$ bits, se invierten los bits y se suma 1 (equivale a calcular $2^n − |N|$). Sumar y restar funciona igual que con positivos.

BCD

El BCD (decimal codificado en binario) escribe cada dígito decimal con 4 bits, de 0000 a 1001. No es lo mismo que pasar el número entero a binario: 95 en BCD es 1001 0101, y en binario 0101 1111. Se usa en relojes, calculadoras y visualizadores de siete segmentos.

Fracciones, coma flotante y desbordamiento

Una fracción se pasa a otra base multiplicando su parte fraccionaria por la base: la parte entera es el dígito y se sigue con el resto. Si el resto se repite, la expansión es periódica: $0{,}1 = 0{,}0\overline{0011}_2$, y por eso 0,1 no se guarda exacto en una máquina binaria. En IEEE 754 un número es $(−1)^s · 1{,}f · 2^{E − sesgo}$ con sesgo 127 (32 bits: 1 + 8 + 23) o 1023 (64 bits: 1 + 11 + 52). Al sumar en complemento a 2 hay desbordamiento si el acarreo que entra en el bit de signo es distinto del que sale. El código Gray cambia un solo bit de un número al siguiente.