Multiplicadores de Lagrange
Halla los máximos y mínimos de una función de dos o tres variables sobre una restricción g = c: plantea ∇f = λ∇g, encuentra los puntos críticos, calcula λ y dice si cada uno es máximo, mínimo o de silla, viendo las curvas de nivel.
Datos
Variables x e y (y z si la usas): x^2 + y^2, x y, 2x + 3y, e^(x y), x^2 y z… La restricción es g(x, y) = c; escribe c a la derecha. Los puntos se buscan numéricamente y se reconocen los valores exactos (√2/2, 1/3…).
Resultados
Curvas de nivel
Desarrollo
La idea
Para optimizar $f(x, y)$ sobre la curva $g(x, y) = c$, en un extremo la curva de nivel de $f$ es tangente a la restricción: los gradientes son paralelos.
$∇f = λ ∇g, \quad g(x, y) = c$
Son tres ecuaciones (cuatro con tres variables) con las incógnitas $x$, $y$, $λ$. El número $λ$ es el multiplicador y mide cuánto cambia el óptimo si cambia $c$: $λ = d f^{*}/d c$.
Máximo, mínimo o silla
Con la lagrangiana $L = f − λ g$, en cada punto crítico se estudia el hessiano de $L$ solo en las direcciones tangentes a la restricción. En dos variables, con $t = (−g_y, g_x)$, el signo de $q = t^T H_L t$ decide: $q > 0$ mínimo, $q < 0$ máximo (equivale al determinante del hessiano orlado, con el signo cambiado). En tres variables se mira el hessiano en el plano tangente: dos autovalores positivos, mínimo; negativos, máximo; distintos, silla.
Los puntos críticos son solo candidatos: para decir cuál es el máximo absoluto se comparan los valores de $f$, y si la restricción no es cerrada y acotada puede que no haya máximo o mínimo.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se usan los multiplicadores de Lagrange?
Para optimizar f con la restricción g = c se resuelve ∇f = λ∇g junto con g = c. Para f = x² + y² con x + y = 2: 2x = λ, 2y = λ y x + y = 2 dan x = y = 1, λ = 2 y f = 2, que es el mínimo.
¿Cómo se sabe si el punto es máximo o mínimo?
Se mira el hessiano de L = f − λg en la dirección tangente a la restricción: q > 0 es mínimo y q < 0 máximo (en dos variables, el signo contrario al del hessiano orlado). Para x y con 2x + 2y = 20 sale x = y = 5, f = 25 y es un máximo.