Superficies y curvas de nivel en 3D
Escribe una función de dos variables y mírala como una superficie que se gira arrastrando y como un mapa de curvas de nivel. Elige un punto y salen el gradiente, el plano tangente, la tangente a la curva de nivel, la derivada direccional, la aproximación lineal y los puntos críticos, paso a paso.
Datos
Resultados
Superficie z = f(x, y)
Curvas de nivel
Desarrollo
Función de dos variables
Una función $z = f(x, y)$ da una altura $z$ a cada punto $(x, y)$ del plano; el conjunto de puntos $(x, y, f(x, y))$ es una superficie. Una curva de nivel es el conjunto de puntos del plano donde $f(x, y) = k$: es lo que dibuja un mapa topográfico (las curvas muy juntas son una pendiente fuerte).
Derivadas parciales y gradiente
$f_{x}$ es la derivada respecto de x con y constante, y $f_{y}$ al revés. El gradiente $∇f = (f_{x}, f_{y})$ apunta hacia donde $f$ crece más deprisa, su módulo $|∇f|$ es esa pendiente máxima y es siempre perpendicular a la curva de nivel que pasa por el punto.
Plano tangente y aproximación lineal
$z = f(x_0, y_0) + f_{x}(x_0, y_0)(x − x_0) + f_{y}(x_0, y_0)(y − y_0)$
Su normal es $n = (f_{x}, f_{y}, −1)$. Cerca del punto la superficie casi se confunde con el plano, así que $f(x, y) ≈ $ la altura del plano: es la aproximación lineal, y el error crece al alejarse.
Derivada direccional
$D_{u} f = ∇f · u = f_{x} u_{x} + f_{y} u_{y}$, con $|u| = 1$
Es la pendiente de la superficie al avanzar en la dirección $u$. Vale lo máximo, $|∇f|$, si $u$ va con el gradiente, lo mínimo, $−|∇f|$, en sentido contrario, y cero por la curva de nivel.
Puntos sin derivada
Los extremos no siempre cumplen $f_{x} = f_{y} = 0$: el cono $z = √{x^2 + y^2}$ tiene su mínimo en el vértice, donde no hay derivadas, y $z = |x| + |y|$ en el origen. Donde se anula lo de dentro de un valor absoluto o de una raíz, la calculadora compara el valor de f alrededor: si todos son mayores es un mínimo, si todos son menores un máximo, y si hay de los dos, ni lo uno ni lo otro (como $|x| + y$, que no tiene extremos). También avisa de los puntos críticos que quedan justo fuera del rango dibujado.
Puntos críticos
Donde $f_{x} = f_{y} = 0$ el plano tangente es horizontal. Con el hessiano $D = f_{xx} f_{yy} − f_{xy}^{2}$: si $D > 0$ y $f_{xx} > 0$ hay un mínimo, si $D > 0$ y $f_{xx} < 0$ un máximo, si $D < 0$ un punto de silla, y si $D = 0$ no se puede decidir así.
Preguntas frecuentes
¿Qué son las curvas de nivel de una superficie?
Son los puntos con f(x, y) = c para distintos valores de c, y el gradiente es perpendicular a ellas. En z = x² + y² son circunferencias de radio √c.
¿Cómo se clasifican los puntos críticos?
Donde ∇f = 0, el hessiano D = fₓₓ·f_yy − fₓ_y² decide: D > 0 y fₓₓ > 0, mínimo; D > 0 y fₓₓ < 0, máximo; D < 0, punto de silla. En z = x² − y², D = −4 en el origen: silla.