Integrales múltiples
Calcula integrales dobles y triples sobre la región que dibujes con sus límites, en cartesianas, polares, cilíndricas o esféricas: ves la región, el cambio de variables con su jacobiano y cada integral iterada, de dentro afuera, con el área o el volumen y el valor medio.
Datos
Resultados
Región
Desarrollo
Integral doble y teorema de Fubini
$∬_D f(x, y) dA = ∫_a^b ∫_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) dy dx$
Si la región es $a ≤ x ≤ b$, $g_1(x) ≤ y ≤ g_2(x)$, se integra primero en y (con x fijo, como si fuera un número) y el resultado, que depende solo de x, se integra después. Con $f = 1$ sale el área de la región, y $∬ f dA / A$ es el valor medio de f.
A veces el otro orden es mucho más fácil. Por ejemplo, $∫_0^1 ∫_x^1 e^{y^{2}} dy dx$ no tiene primitiva en y, pero la misma región es $0 ≤ y ≤ 1$, $0 ≤ x ≤ y$, y entonces $∫_0^1 y e^{y^{2}} dy = (e − 1)/2$. Elige «dx dy» en la herramienta para ver ese caso. Dibujar la región es lo que permite cambiar el orden.
Cambio de variables y jacobiano
$∬_D f(x, y) dx dy = ∬_{D'} f(x(u, v), y(u, v)) |J| du dv$, $J = {∂(x, y)}/{∂(u, v)}$
El jacobiano es lo que se estira el área al cambiar de coordenadas: un trocito $du dv$ se convierte en un trocito de área $|J| du dv$. Se usa cuando la región o el integrando se escriben mejor en otras coordenadas, sobre todo si hay círculos, esferas o cilindros.
Polares
$x = r cos θ, y = r sen θ, dA = r dr dθ$
El factor $r$ es el largo del arco $r dθ$ de un trocito de anillo de ancho $dr$. Además $x^{2} + y^{2} = r^{2}$, así que $∬ (x^{2} + y^{2}) dA = ∫ ∫ r^{3} dr dθ$. Un círculo de radio R es $0 ≤ θ ≤ 2π$, $0 ≤ r ≤ R$; la mitad de arriba, $0 ≤ θ ≤ π$; una corona, $R_1 ≤ r ≤ R_2$; y una curva $r = ρ(θ)$ (una cardioide $r = 1 + cos θ$) da $0 ≤ r ≤ ρ(θ)$. La integral de Gauss sale así: $∬ e^{−x^{2} − y^{2}} dA = π(1 − e^{−1})$ en el círculo unidad y $π$ en todo el plano.
Integral triple
$∭_V f dV = ∫_a^b ∫_{g_1(x)}^{g_2(x)} ∫_{h_1(x, y)}^{h_2(x, y)} f dz dy dx$
Se integra de dentro afuera: primero z, entre las superficies de abajo y de arriba, luego y entre dos curvas y al final x entre dos números. Con $f = 1$ sale el volumen. Un tetraedro con tres caras en los planos coordenados es $0 ≤ x ≤ 1$, $0 ≤ y ≤ 1 − x$, $0 ≤ z ≤ 1 − x − y$.
Cilíndricas
$x = r cos θ, y = r sen θ, z = z, dV = r dr dθ dz$
Son polares más la altura: sirven para cilindros, conos y paraboloides. Un cono con vértice en el origen y altura 1 es $0 ≤ z ≤ 1$, $0 ≤ r ≤ z$, o también $0 ≤ r ≤ 1$, $r ≤ z ≤ 1$, que es su volumen $π/3$.
Esféricas
$x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cos φ, dV = ρ^{2} sen φ dρ dφ dθ$
Aquí φ se mide desde el eje z (de 0 a π) y θ es el giro alrededor de z (de 0 a 2π), como en los apuntes de la mayoría de universidades españolas. Mira que algunos libros intercambian φ y θ. La esfera de radio R es $0 ≤ ρ ≤ R$, $0 ≤ φ ≤ π$, $0 ≤ θ ≤ 2π$, y su volumen $4πR^{3}/3$; el hemisferio de arriba tiene $0 ≤ φ ≤ π/2$. Además $x^{2} + y^{2} + z^{2} = ρ^{2}$.
¿Qué coordenadas elegir?
Si en la región o en f aparece $x^{2} + y^{2}$, polares o cilíndricas; si aparece $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ o hay una esfera o un cono con vértice en el origen, esféricas; si la región es una caja o un poliedro, cartesianas. El jacobiano no se olvida: $r$ en polares y cilíndricas, $ρ^{2} sen φ$ en esféricas.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula una integral doble en polares?
Con dA = r dr dθ. El área de un círculo de radio R es ∫₀^2π∫₀^R r dr dθ = πR².
¿Y una triple en cilíndricas o esféricas?
En cilíndricas, dV = r dr dθ dz; en esféricas, dV = ρ² sen φ dρ dφ dθ. El volumen de una esfera de radio R es ∫₀^2π∫₀^π∫₀^R ρ² sen φ dρ dφ dθ = 4πR³/3.