Método de las imágenes

La idea del método

Un conductor en equilibrio es una superficie equipotencial y el campo en su superficie es perpendicular a ella. La solución de la ecuación de Poisson fuera del conductor es única si se conoce el potencial en su superficie, así que si encontramos unas cargas ficticias dentro del conductor (las cargas imagen) que, junto con la carga real, den el mismo potencial en la superficie, el campo y el potencial de fuera son los verdaderos. La carga inducida se obtiene después con la condición de contorno:

$σ = ε_0 E_n$,   $V|_{superficie} = V_0$

Plano conductor a tierra

La imagen es la opuesta, en el punto simétrico: q′ = −q en z = −d. El campo de arriba es el de un dipolo y la fuerza sobre q es la que haría la imagen, a una distancia 2d (la mitad que con dos cargas reales, porque la energía solo está en el semiespacio de arriba):

$F = −{q^2}/{16π ε_0 d^2}$,   $σ(ρ) = −{q d}/{2π (ρ^2 + d^2)^{3/2}}$,   $W = {q^2}/{16π ε_0 d}$

Integrando σ en todo el plano sale la carga inducida total, −q: todas las líneas de campo de q acaban en el plano.

Esfera conductora

Para una carga q a una distancia a del centro de una esfera de radio R, la imagen está en el eje, dentro de la esfera, y vale:

$q′ = −{q R}/a$,   $a′ = R^2/a$

Con la esfera a tierra, esa es toda la solución: la carga de la esfera es q′ y la fuerza sobre q, atractiva, es

$F = −{q^2 R a}/{4π ε_0 (a^2 − R^2)^2}$,   $σ(θ) = −{q (a^2 − R^2)}/{4π R (R^2 + a^2 − 2 a R cos θ)^{3/2}}$

Si la esfera está aislada y tiene una carga total Q, hay que añadir una segunda imagen q″ = Q − q′ en el centro, para que la superficie siga siendo una equipotencial sin cambiar la carga: una esfera neutra tiene q″ = +qR/a, con lo que sigue atrayendo a q (más débilmente que a tierra). Si se mantiene a un potencial V₀, la imagen del centro es q″ = 4π ε₀ R V₀.

Cavidad esférica

Si la carga está dentro de una cavidad esférica de radio R en un conductor (a < R), la imagen está fuera, con las mismas fórmulas q′ = −qR/a y a′ = R²/a. La carga inducida en la pared es exactamente −q, y la fuerza sobre q la atrae hacia la pared más cercana:

$F = {q^2 R a}/{4π ε_0 (R^2 − a^2)^2}$

Las imágenes solo valen en la región donde está la carga real (arriba del plano, fuera de la esfera o dentro de la cavidad): en el conductor el campo real es cero. Con varias cargas se suman las imágenes de cada una. Para otras distribuciones de carga usa Electrostática.