Cavidades resonantes

Qué es una cavidad resonante

Una caja metálica cerrada (o un trozo de guía de onda cerrado por los dos extremos) en la que una onda electromagnética queda atrapada y forma una onda estacionaria. Solo existen ciertos modos, cada uno con su frecuencia de resonancia $f_0$ y su forma de campo. Es el equivalente de microondas del circuito $L C$: guarda energía eléctrica y magnética que se intercambian a $f_0$. Se usa en filtros, osciladores, medidores de frecuencia (ondámetros), aceleradores de partículas y hornos de microondas.

Frecuencia de resonancia

Rectangular $a × b × d$, con modos $"TE"_{mnp}$ ($p ≥ 1$) y $"TM"_{mnp}$ ($m, n ≥ 1$):

$f_0 = v/2 √({(m/a)^2 + (n/b)^2 + (p/d)^2})$,   $v = c/√(ε_r)$

Cilíndrica de radio $R$ y longitud $L$, con $x_{nm}$ el $m$-ésimo cero de $J_n$ (modos TM, $p ≥ 0$) o $x′_{nm}$ el de $J′_n$ (modos TE, $p ≥ 1$):

$f_0 = v/{2π} √({(x_{nm}/R)^2 + (p π/L)^2})$

Esférica de radio $R$: en los modos TE, $x_{nl}$ es el $l$-ésimo cero de $j_n$; en los TM, el de $(x j_n)′$:

$f_0 = {v x_{nl}}/{2π R}$

El modo dominante rectangular es el $"TE"_{101}$; en la cilíndrica, el $"TM"_{010}$ (si $L < 2,03 R$) o el $"TE"_{111}$; en la esférica, el $"TM"_{11}$ ($x = 2,744$). Los modos $"TE"_{0mp}$ y $"TM"_{1mp}$ de la cilíndrica son degenerados.

Factor de calidad

$Q = ω_0 ·$ (energía almacenada) $/$ (potencia perdida). Las paredes de conductividad $σ$ disipan por efecto Joule en una capa de espesor $δ = 1/√(π f_0 μ_0 σ)$, con resistencia superficial $R_s = 1/(σ δ)$:

$Q_c = {ω_0 μ_0 ∫|H|^2 dV}/{R_s ∮|H_t|^2 dS} = {2Γ}/δ$

El relleno con pérdidas añade $Q_d = 1/{"tan" δ}$ y las dos se combinan en paralelo:

$1/Q = 1/Q_c + 1/Q_d$,   $Δf = f_0/Q$

Un $Q$ alto significa resonancia muy estrecha. En una cavidad de cobre con aire el orden de magnitud es $Q ≈ V/(S δ)$, de miles a decenas de miles; en la esférica, los modos TE tienen exactamente $Q_c = R/δ$.