Transformada z y FFT
La transformada z de una señal o de un sistema discreto (polos, ceros, estabilidad, respuesta al impulso y respuesta en frecuencia) y la FFT de una señal con ventana: espectro, picos, resolución y aliasing, paso a paso.
Datos
Resultados
Gráfica
Desarrollo
La transformada z
Es la «Laplace» de las señales discretas. Para una secuencia $x[n]$ causal, $X(z) = Σ_{n=0}^{∞} x[n]·z^{-n}$, y retrasar una muestra equivale a multiplicar por $z^{-1}$. Un sistema lineal e invariante se describe con una ecuación en diferencias y su función de transferencia es el cociente $H(z) = B(z)/A(z)$ de dos polinomios en $z^{-1}$.
$H(z) = (b_0 + b_1 z^{-1} + … + b_M z^{-M})/(a_0 + a_1 z^{-1} + … + a_N z^{-N})$
Polos, ceros y estabilidad
Los ceros son las raíces del numerador y los polos las del denominador (en potencias de $z$). Un sistema causal es estable si todos sus polos están dentro de la circunferencia unidad, $|p| < 1$: la respuesta al impulso $h[n]$ se amortigua como $|p|^n$. Un polo real $p$ da el término $p^n$; un par complejo $r e^{±jθ}$ da $r^n cos(θn + φ)$, una oscilación de frecuencia $θ$ rad/muestra.
Respuesta en frecuencia
Si la circunferencia unidad está en la región de convergencia, $H(e^{jω}) = H(z)$ en $z = e^{jω}$ es la respuesta del sistema a un seno de frecuencia $ω$ (rad/muestra, entre $0$ y $π$). Un polo cerca de $e^{jω_0}$ la hace subir en $ω_0$ y un cero cerca la hace caer.
DFT y FFT
La transformada discreta de Fourier de $N$ muestras es $X[k] = Σ x[n] e^{-j2πkn/N}$, es decir, la transformada z evaluada en $N$ puntos equiespaciados de la circunferencia unidad. El bin $k$ corresponde a $f_k = k f_s/N$ y la resolución es $Δf = f_s/N$: para distinguir dos tonos hay que observar más tiempo, no solo muestrear más rápido. La FFT radix-2 calcula la misma DFT con $(N/2) log_2 N$ multiplicaciones en lugar de $N^2$.
Fugas, ventanas y aliasing
Si un tono no cae justo en un bin, su energía se reparte en los vecinos (fuga espectral). Una ventana (Hann, Hamming, Blackman) suaviza los extremos y reduce las fugas a costa de ensanchar el pico. Y si una frecuencia supera $f_s/2$, aparece plegada en $|f − k f_s|$: es el aliasing, y no se puede deshacer después de muestrear.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se sabe si un sistema discreto es estable?
Un sistema causal es estable si todos los polos de H(z) tienen módulo menor que 1. En y[n] = x[n] + 0,5·y[n−1] el polo es z = 0,5 y h[n] = 0,5ⁿ se amortigua; con un polo en z = 2, h[n] = 2ⁿ crece sin límite.
¿Qué resolución tiene una FFT y qué es la fuga espectral?
La resolución es Δf = fₛ/N: con fₛ = 640 Hz y N = 64 muestras, Δf = 10 Hz. Un tono de 50 Hz cae justo en un bin, pero uno de 55 Hz queda entre dos y reparte su energía en los vecinos; una ventana de Hann reduce esa fuga.