Control: Routh, raíces y Nyquist

El sistema realimentado

Con realimentación unitaria negativa y una ganancia de lazo $L(s) = K N(s)/D(s)$, los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica:

$1 + L(s) = 0 ⇒ D(s) + K N(s) = 0$

El sistema es estable si todas esas raíces están en el semiplano izquierdo ($"Re"(s) < 0$). Las tres herramientas responden a la misma pregunta: ¿para qué valores de K lo es?

Criterio de Routh-Hurwitz

Dice cuántas raíces de un polinomio están en el semiplano derecho sin calcularlas. Se forma una tabla con los coeficientes y el número de cambios de signo de su primera columna es el número de raíces con parte real positiva. Dos casos especiales: un cero en la primera columna (se sustituye por un $ε$ pequeño) y una fila entera de ceros (hay raíces simétricas respecto al origen; se resuelve con el polinomio auxiliar $A(s)$ y se sigue con su derivada).

Lugar de las raíces

Es el recorrido de los polos de lazo cerrado cuando K pasa de 0 a ∞. Sus reglas: nace en los polos y muere en los ceros (o en el infinito), el eje real pertenece al lugar donde deja a su derecha un número impar de polos y ceros, las ramas que se van al infinito siguen asíntotas de ángulos $(2k + 1)·180°/(n − m)$ desde el centroide:

$σ = (Σ "polos" − Σ "ceros")/(n − m)$

Los puntos de ruptura son las raíces de $dK/ds = 0$, y el ángulo de salida de un polo complejo $p$ es $180° + Σ ∠(p − z) − Σ ∠(p − p_i)$ (con $p_i ≠ p$).

Criterio de Nyquist

Se dibuja $L(jω)$ para todas las frecuencias. Si da $N$ vueltas horarias alrededor de −1 y $L(s)$ tiene $P$ polos en el semiplano derecho, el sistema en lazo cerrado tiene

$Z = N + P$

polos en el semiplano derecho: es estable si $Z = 0$. El margen de ganancia es cuánto puede crecer K antes de que la curva toque −1 ($M_G = 1/|L(jω_{180})|$) y el margen de fase es lo que falta de fase para −180° en la frecuencia donde $|L| = 1$ ($M_F = 180° + ∠L(jω_c)$). Los diagramas de magnitud y fase de esos márgenes están en Diagramas de Bode y filtros, y el circuito real se puede montar en el Simulador de circuitos.

Respuesta al escalón y Bode de lazo abierto

Con realimentación unitaria el lazo cerrado es $T(s) = L(s)/(1 + L(s))$. Su respuesta al escalón da el valor final $T(0)$, el error $e_{ss} = 1 − T(0)$, la sobreoscilación $M_p$, el tiempo de subida (10 % a 90 %) y el de establecimiento (2 %). En el diagrama de Bode de lazo abierto, el margen de fase es $180° + ∠L$ donde $|L| = 1$ (0 dB) y el de ganancia es $−|L|_{dB}$ donde la fase vale −180°; con ambos positivos el lazo cerrado es estable.