Black-Scholes

Qué es una opción

Una call europea da derecho a comprar una acción al precio de ejercicio K en una fecha futura; una put, a venderla. Al vencimiento paga $máx(S − K, 0)$ la call y $máx(K − S, 0)$ la put. Hoy tiene un precio porque puede acabar valiendo algo: cuanto más volátil es la acción y más tiempo queda, más vale.

La fórmula de Black-Scholes

$d_1 = {ln(S/K) + (r − q + σ^2/2)T}/{σ√T}$, $d_2 = d_1 − σ√T$

$C = S e^{−qT} N(d_1) − K e^{−rT} N(d_2)$, $P = K e^{−rT} N(−d_2) − S e^{−qT} N(−d_1)$

$N$ es la función de distribución de la normal estándar. Supone que el precio sigue un movimiento browniano geométrico con volatilidad constante, un tipo sin riesgo constante y mercados sin costes ni oportunidades de arbitraje. La paridad call-put, $C − P = S e^{−qT} − K e^{−rT}$, se cumple siempre.

Las griegas

Delta es lo que cambia la opción por euro que sube la acción (entre 0 y 1 en la call, entre −1 y 0 en la put). Gamma es lo que cambia la delta. Vega es la sensibilidad a la volatilidad, theta la pérdida de valor por el paso del tiempo y rho la sensibilidad al tipo de interés. Sirven para cubrir el riesgo de una cartera de opciones.

Qué supone este modelo

• Opción europea: solo se puede ejercer al vencimiento (no hay ejercicio anticipado; una put americana puede valer más).
• La acción paga un dividendo continuo q (modelo de Merton), no dividendos discretos en fechas concretas.
• Volatilidad y tipo sin riesgo constantes hasta el vencimiento, y precios sin saltos (movimiento browniano geométrico).
• Mercado sin costes de transacción, sin impuestos y con compra y venta en corto sin límites.
• La volatilidad implícita es la σ que hace que el modelo dé el precio de mercado; no es una predicción, es una forma de expresar ese precio.
• Cerca del vencimiento, gamma y theta pueden ser enormes: es correcto, no un error.