Cartera de Markowitz y CAPM
Elige cómo repartir tu dinero entre varios activos: calcula la cartera de menor riesgo, la mejor relación rentabilidad-riesgo (tangente) y, con el CAPM, la beta y el alfa de cada activo.
Datos
Resultados
Frontera eficiente y mercado
Pesos y CAPM
Desarrollo
La idea de Markowitz
Una cartera de pesos $w$ rinde $μ_p = w^T·μ$ y tiene riesgo $σ_p = √(w^T·Σ·w)$. Como los activos no se mueven del todo a la vez (correlación menor que 1), repartir el dinero baja el riesgo sin bajar la rentabilidad: es la diversificación. De todas las carteras posibles, las eficientes son las que dan la mayor rentabilidad para cada riesgo; juntas forman la frontera eficiente. La de mínima varianza es su punto más a la izquierda.
Activo sin riesgo y cartera tangente
Si además existe un activo sin riesgo con rentabilidad $r_f$, la mejor cartera de riesgo es la que maximiza el ratio de Sharpe $S = (μ_p − r_f)/σ_p$, la cartera tangente. Mezclándola con el activo sin riesgo se recorre la línea del mercado de capitales $μ_p = r_f + S·σ_p$, y todos los inversores eligen la misma cartera de riesgo, solo cambia cuánto prestan o piden prestado.
CAPM
$μ_i = r_f + β_i·(μ_M − r_f)$, $β_i = σ_{iM}/σ_M^2$
Si el mercado es la cartera tangente, la rentabilidad que exige el mercado a un activo depende solo de su beta, la parte de su riesgo que no se elimina diversificando. La recta rentabilidad-beta es la línea del mercado de valores (SML). El alfa $α_i = μ_i − (r_f + β_i(μ_M − r_f))$ mide lo que rinde de más o de menos respecto a esa recta.
Ventas en corto
Con ventas en corto los pesos pueden ser negativos y todo tiene solución en forma cerrada. Sin ellas ($w_i ≥ 0$) hay que probar qué activos entran en la cartera; la herramienta lo hace con todos los grupos posibles, así que el resultado es exacto. Es un modelo teórico: usa estimaciones de rentabilidad y riesgo que cambian, y no es una recomendación de inversión.
Qué supone este modelo
- Las rentabilidades esperadas, los riesgos y las correlaciones son datos que escribes, no estimaciones hechas por la herramienta (en la práctica se estiman con series históricas y fallan fuera de la muestra).
- Un solo periodo, con la misma distribución de rentabilidades para todos.
- Se puede prestar y pedir prestado al mismo tipo sin riesgo rf (la cartera tangente y la CML dependen de ello).
- Sin costes de transacción, sin impuestos y con activos infinitamente divisibles.
- Correlaciones constantes, y el resultado es exacto solo dentro del modelo: sin ventas en corto se prueban todos los grupos de activos (hasta 6), con ventas en corto salen de la forma cerrada.
- Por defecto no se permiten ventas en corto (pesos ≥ 0, sin apalancamiento); con la opción «Permitidas» los pesos pueden ser negativos. El modo activo aparece siempre en los resultados.
- La rentabilidad objetivo es opcional; sin ventas en corto debe estar entre la del activo que menos rinde y la del que más. Con dos activos, la correlación puede ser +1 o −1 (casos especiales de clase).
Límites de esta herramienta
- Trabaja con 2 a 6 activos y con las rentabilidades, volatilidades y correlaciones que tú escribes: no las estima a partir de cotizaciones históricas.
- Es el modelo de media y varianza de un solo periodo: no tiene en cuenta comisiones, impuestos ni límites de peso por activo (solo permitir o no las ventas en corto).
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la cartera de mínima varianza de dos activos?
w₁ = (σ₂² − ρσ₁σ₂)/(σ₁² + σ₂² − 2ρσ₁σ₂). Con σ₁ = 20 %, σ₂ = 10 % y ρ = 0,3: w₁ = 0,004/0,038 ≈ 10,5 % y w₂ ≈ 89,5 %; el riesgo baja a σ ≈ 9,79 %, menos que el del activo más seguro.
¿Qué es la cartera tangente y cómo se obtiene el CAPM?
La tangente maximiza el ratio de Sharpe (μ − rf)/σ. Si el mercado es esa cartera, la rentabilidad exigida a un activo es rf + β·(μM − rf), con β = σiM/σM². Un activo con rentabilidad esperada mayor que esa cifra tiene alfa positivo.