Bonos y duración
Valora un bono con cupón: precio, rentabilidad (TIR), duración, convexidad y cuánto cambia su precio cuando suben o bajan los tipos de interés.
Datos
Resultados
Precio según la rentabilidad exigida
Flujos del bono
Desarrollo
Precio de un bono
Un bono promete unos cupones periódicos y la devolución del nominal al vencimiento. Su precio es el valor actual de esos flujos descontados a la rentabilidad que exige el mercado (la TIR):
$P = ∑_{j=1}^{n} {Q_j}/{(1 + y/m)^j}$, con $Q_j = N·c/m$ y, en el último periodo, también $N$
Si el cupón es mayor que la TIR, el bono vale más que el nominal (sobre la par); si es menor, menos (bajo la par); si coinciden, vale exactamente el nominal. Precio y TIR se mueven en sentido contrario.
Duración de Macaulay
Es el plazo medio ponderado en que se recupera la inversión, pesando cada flujo por su valor actual: $D = ∑ t·VA_t / P$. Se mide en años; es menor que el vencimiento si hay cupones, y igual a él en un bono cupón cero.
Duración modificada y riesgo de tipos
$D_m = D/(1 + y/m)$ da la sensibilidad del precio a la rentabilidad: $ΔP/P ≈ −D_m·Δy$. Cuanto más larga es la duración, más cae el bono cuando suben los tipos.
Convexidad
La relación precio-TIR no es una recta, sino una curva convexa. La convexidad $C$ corrige la aproximación de la duración: $ΔP/P ≈ −D_m·Δy + ½·C·Δy²$. Con ella la estimación se acerca mucho más al precio exacto, sobre todo en variaciones grandes.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el precio de un bono?
Es el valor actual de sus flujos descontados a la TIR. Un bono de 1.000 € con cupón del 5 % a 3 años y TIR del 4 % paga 50, 50 y 1.050: 50/1,04 + 50/1,04² + 1.050/1,04³ ≈ 1.027,75 €.
¿Qué mide la duración de un bono?
La duración de Macaulay es el plazo medio, ponderado por valor actual, en que se recupera la inversión: en el ejemplo anterior, unos 2,86 años. Dividida por (1 + TIR) da la duración modificada, que indica cuánto cae el precio por cada punto que sube la TIR.