Teoría de juegos
Escribe la matriz de pagos de un juego de dos jugadores con dos estrategias cada uno y obtén los equilibrios de Nash (puros y mixtos), las estrategias dominantes y si el resultado es eficiente, con el dilema del prisionero como ejemplo.
Datos
Resultados
Matriz de pagos
Subrayado, la mejor respuesta de cada jugador; sombreada, la casilla que es equilibrio de Nash; ★, los resultados óptimos de Pareto.
Mejores respuestas
Desarrollo
La matriz de pagos
Dos jugadores eligen a la vez, sin saber lo que hace el otro, una de sus dos estrategias. Cada casilla de la matriz dice cuánto gana cada uno con esa combinación: primero el jugador 1 (filas) y luego el 2 (columnas).
Estrategia dominante y equilibrio de Nash
Una estrategia es dominante si da más que la otra pase lo que pase. Un equilibrio de Nash es una combinación en la que nadie quiere cambiar por su cuenta: cada uno juega su mejor respuesta a lo que hace el otro. Si hay estrategias dominantes, el equilibrio las usa.
Equilibrio mixto
A veces conviene decidir al azar. Si el jugador 2 juega su primera estrategia con probabilidad $q$, el 1 queda indiferente entre las suyas cuando sus dos pagos esperados coinciden, y de ahí sale $q$; lo mismo con $p$ para el 2:
$q = {a_{22} − a_{12}}/{a_{11} − a_{12} − a_{21} + a_{22}}$
$p = {b_{22} − b_{21}}/{b_{11} − b_{12} − b_{21} + b_{22}}$
Eficiencia y el dilema del prisionero
Un resultado es óptimo de Pareto si no se puede mejorar a uno sin empeorar al otro. El equilibrio de Nash no tiene por qué serlo: en el dilema del prisionero los dos confiesan porque es lo mejor que puede hacer cada uno, aunque los dos saldrían ganando si callaran. Es lo que pasa también con dos empresas que bajan los precios, o con países que no reducen sus emisiones.
Límites de esta herramienta
- Son juegos simultáneos de dos jugadores: no hay árbol de decisión secuencial (subjuego perfecto) ni más de tres estrategias por jugador.
- En la matriz 3 × 3 se halla el equilibrio de Nash en estrategias puras y se eliminan las estrategias estrictamente dominadas por una estrategia pura; el equilibrio mixto solo se calcula en 2 × 2.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un equilibrio de Nash?
Una combinación de estrategias en la que ningún jugador mejora cambiando solo la suya. En el dilema del prisionero, el equilibrio es que ambos confiesen (5 y 5 años) aunque ambos callar (1 y 1) sería mejor para los dos.
¿Cómo se halla en una matriz 2×2?
Se marca la mejor respuesta de cada jugador a cada estrategia del otro; las casillas con las dos marcas son equilibrios de Nash.