Distribuciones de probabilidad

La normal y la tipificación

Si X ~ N(μ, σ), la variable Z = (X − μ)/σ sigue la normal tipificada N(0, 1), cuya función de distribución Φ(z) es la que viene en las tablas. Así cualquier probabilidad de una normal se reduce a Φ: P(X ≤ a) = Φ((a − μ)/σ) y P(X ≥ a) = 1 − Φ((a − μ)/σ). Por la simetría, Φ(−z) = 1 − Φ(z).

$P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b − μ)/σ) − Φ((a − μ)/σ)$

Binomial y Poisson

La binomial B(n, p) cuenta los éxitos en n pruebas independientes con probabilidad p cada una: media np y varianza npq. La Poisson P(λ) cuenta sucesos raros en un intervalo, con media y varianza λ. En las discretas sí importa si la desigualdad es estricta: P(X < k) = P(X ≤ k − 1).

$P(X = k) = binom(n, k) p^k q^{n−k}$,   $P(X = k) = {e^{−λ} λ^k}/{k!}$

Si np ≥ 5 y nq ≥ 5, la binomial se aproxima por N(np, √(npq)), sumando o restando 0,5 a los extremos (corrección de continuidad). Si n es grande y p pequeña (n ≥ 30 y p ≤ 0,1), se aproxima mejor por una Poisson de media λ = np. Y una Poisson con λ ≥ 10 se aproxima por N(λ, √λ).

Geométrica e hipergeométrica

La geométrica G(p) cuenta los fracasos antes del primer éxito: P(X = k) = q^kp, con media q/p. Algunos libros cuentan las pruebas hasta el primer éxito, que es X + 1. La hipergeométrica es como la binomial pero sacando sin reemplazo: de una población de N elementos con K éxitos se sacan n, y X cuenta los éxitos que salen.

$P(X = k) = {binom(K, k) binom(N − K, n − k)}/{binom(N, n)}$

t de Student y χ²

La t de Student con ν grados de libertad aparece al estimar una media con la desviación típica de la muestra: es simétrica como la normal pero con colas más gruesas, y se parece a ella cuando ν crece. La χ² con k grados de libertad es la suma de k normales tipificadas al cuadrado y se usa en las pruebas de bondad de ajuste, de independencia y para la varianza.

La F de Snedecor con d₁ y d₂ grados de libertad es el cociente de dos χ² divididas por sus grados de libertad. Se usa para comparar dos varianzas y en el análisis de la varianza. Cumple F_{d₁, d₂; 1−α} = 1/F_{d₂, d₁; α}, que es como se sacan de las tablas los valores de la cola izquierda.

Uniforme y exponencial

En la uniforme U(a, b) todos los tramos de la misma longitud tienen la misma probabilidad: media (a + b)/2 y varianza (b − a)²/12. La exponencial de tasa λ mide el tiempo hasta un suceso; tiene media 1/λ y no tiene memoria.

Aproximaciones y corrección de continuidad

Una binomial con np ≥ 5 y nq ≥ 5 se parece a la normal N(np, √(npq)), y una Poisson con λ ≥ 10 a N(λ, √λ). Como la normal es continua y la otra va a saltos, cada entero k se cambia por el tramo de k − 0,5 a k + 0,5: es la corrección de continuidad. La herramienta pone juntas la probabilidad exacta, la aproximada con y sin corrección y el error de cada una. Con n ≥ 30 y p ≤ 0,1 la binomial se aproxima por una Poisson de λ = np, y una hipergeométrica en la que se saca menos del 10 % de la población, por una binomial.

$P(a ≤ X ≤ b) ≈ Φ({b + 0,5 − μ}/σ) − Φ({a − 0,5 − μ}/σ)$

Teorema central del límite

Si se toman muestras de n valores de cualquier distribución con media μ y desviación típica σ, la media de cada muestra tiene media μ y desviación típica σ/√n, y cuando n crece su distribución se acerca a una normal aunque la de partida no lo sea. Por eso la normal aparece en los intervalos de confianza y los contrastes. Elige «Teorema central del límite» en «Qué calcular» para ver el histograma de las medias de 2000 muestras simuladas junto a la campana que predice el teorema.

$X̄ ≈ N(μ, σ/√n)$

Comparar dos distribuciones

Con «Comparar con» se dibuja encima una segunda distribución, a trazos si es continua y con puntos si es discreta: sirve para ver cómo la t de Student se acerca a la normal al subir los grados de libertad, cómo cambia una normal con su σ o lo bien que una normal sigue a una binomial.

Valores críticos

Para un nivel de significación α, el valor crítico bilateral c deja α/2 en cada cola: P(−c ≤ Z ≤ c) = 1 − α. Con α = 0,05, z_α/2 = 1,96. El unilateral deja toda α en una cola: z_α = 1,645 para α = 0,05. La χ² y la F no son simétricas, así que en el bilateral hacen falta dos valores distintos.

Hallar μ o σ

Si se sabe una probabilidad, por ejemplo P(X ≥ a) = p, se busca en la tabla el z con Φ(z) = 1 − p y se despeja de (a − μ)/σ = z la media o la desviación típica que falte.

$μ = a − zσ$,   $σ = {a − μ}/z$

Desigualdad de Chebyshev

Para cualquier distribución con media μ y desviación típica σ, P(|X − μ| ≤ c) ≥ 1 − σ²/c². Es una cota que vale siempre, aunque no se sepa la distribución; con la normal la probabilidad real es bastante mayor.