Regresión lineal múltiple
Ajusta Y con varias variables explicativas por mínimos cuadrados: coeficientes con su error típico, t y p-valor, R² y R² ajustado, el contraste F global, los residuos y una predicción, con el desarrollo paso a paso.
Datos
Resultados
Coeficientes
Valores observados frente a ajustados
Desarrollo
El modelo
$Y = β_0 + β_1 X_1 + β_2 X_2 + ⋯ + β_p X_p + ε$. Cada $β_j$ es el cambio medio de $Y$ al subir una unidad $X_j$ manteniendo constantes las demás variables, y por eso no coincide con la pendiente de la regresión simple de $Y$ sobre $X_j$ si las $X$ están correlacionadas entre sí.
Mínimos cuadrados
Los coeficientes que minimizan la suma de los residuos al cuadrado cumplen las ecuaciones normales:
$(X^T X) β̂ = X^T y$, $β̂ = (X^T X)^{-1} X^T y$
con $X$ la matriz con una columna de unos y una columna por variable. La varianza residual es $s^2 = SC_R/(n − p − 1)$ y el error de cada coeficiente, $s √([(X^T X)^{-1}]_{jj})$.
Ajuste y contrastes
$R^2 = 1 − SC_R/SC_T$ nunca baja al añadir variables; el $R^2$ ajustado, $1 − (1 − R^2)(n − 1)/(n − p − 1)$, penaliza las que no aportan. Cada $t_j = β̂_j/EE(β̂_j)$ contrasta $β_j = 0$ y la $F$ global contrasta que todos los $β_j$ (menos la constante) valgan cero a la vez.
Cuidado
Si dos variables explicativas están muy relacionadas (multicolinealidad) los errores de sus coeficientes se disparan y los signos pueden ser engañosos. Hacen falta más observaciones que coeficientes: $n > p + 1$.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calculan los coeficientes de una regresión lineal múltiple?
Por mínimos cuadrados, resolviendo las ecuaciones normales (XᵀX)β = Xᵀy, es decir, β̂ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy. Cada coeficiente es el cambio medio de Y al subir una unidad esa variable manteniendo constantes las demás.
¿Qué diferencia hay entre R² y R² ajustado?
R² = 1 − SC_R/SC_T nunca baja al añadir variables; R² ajustado = 1 − (1 − R²)(n − 1)/(n − p − 1) penaliza las que no aportan. La F global contrasta que todos los coeficientes (salvo la constante) valgan 0 a la vez.