ANOVA de uno y dos factores

La idea

Se quiere saber si $k$ grupos tienen la misma media. En vez de comparar los grupos de dos en dos, se compara la variabilidad entre las medias de los grupos con la variabilidad dentro de cada grupo: si las medias están mucho más separadas de lo que explica el ruido de dentro, se rechaza $H_0$.

$SC_T = SC_E + SC_D$,   $F = {CM_E}/{CM_D} = {SC_E/(k − 1)}/{SC_D/(N − k)}$

Supuestos y qué hacer si fallan

Observaciones independientes, residuos $x_{ij} − x̄_i$ aproximadamente normales (se comprueba con Shapiro-Wilk) y varianzas parecidas (Levene, con la mediana, es robusto; Bartlett es más potente pero se deja engañar si los datos no son normales). Con grupos del mismo tamaño el contraste aguanta bastante bien; si Levene rechaza, usa la F de Welch, que pondera cada grupo por $n_i/s_i^2$ y ajusta los grados de libertad, y compara las parejas con Games-Howell. Si la normalidad falla con pocos datos, mira Kruskal-Wallis en Contrastes no paramétricos.

Tamaño del efecto

$η^2 = SC_E/SC_T$ es la proporción de la variabilidad total que explica el factor, pero tiende a sobrestimarla con pocos datos; $ω^2 = {SC_E − (k − 1) CM_D}/{SC_T + CM_D}$ lo corrige. Cohen propone $f = √{η^2/(1 − η^2)}$: 0,10 pequeño, 0,25 mediano, 0,40 grande.

Comparaciones por parejas

Si el ANOVA sale significativo no dice qué medias difieren. Comparar todas las parejas con una t ordinaria infla el error: con 10 grupos hay 45 parejas y, si todas las medias fueran iguales, casi seguro que alguna saldría «significativa». Los métodos controlan el error de toda la familia:

• Tukey (HSD) usa el rango studentizado $q = |x̄_i − x̄_j|/√(CM_D/2 · (1/n_i + 1/n_j))$; es la elección habitual para todas las parejas (Tukey-Kramer si los tamaños difieren).
• Bonferroni multiplica cada p-valor por el número de parejas; Holm hace lo mismo paso a paso y siempre es más potente.
• Scheffé es el más conservador, pero sirve para cualquier contraste, también los que se te ocurren después de ver los datos.
• Games-Howell no supone varianzas iguales: usa la de cada pareja y sus grados de libertad de Welch.

Contrastes planificados

Si la pregunta se conoce antes de ver los datos (por ejemplo, un control frente a la media de los tratamientos) se contrasta directamente con $ψ = ∑ c_i x̄_i$, donde $∑ c_i = 0$: $t = ψ/√(CM_D ∑ c_i^2/n_i)$ con $N − k$ grados de libertad. Para «A frente a la media de B y C» los coeficientes son 2, −1, −1.

Dos factores

Con dos factores A (de $a$ niveles) y B (de $b$) y $n$ repeticiones en cada casilla, la variabilidad se reparte en $SC_A$, $SC_B$, la interacción $SC_{AB}$ y el error $SC_E$; cada efecto se contrasta con $F = CM_{efecto}/CM_E$. Hay interacción cuando el efecto de un factor depende del nivel del otro (en la gráfica, líneas no paralelas); si es significativa, interpreta los efectos principales con cuidado. El diseño tiene que ser equilibrado (todas las combinaciones, las mismas repeticiones); con un solo dato por casilla se supone que no hay interacción y se usa su variabilidad como error. Se da el $η^2$ y el $ω^2$ parciales de cada efecto.