Probabilidad: combinatoria, sucesos y Bayes

Cuántos casos hay: combinatoria

Para contar casos hay que responder dos preguntas: si importa el orden y si se puede repetir. Si importa el orden y se eligen k de n elementos distintos sin repetir, son variaciones; si además se usan todos, permutaciones. Si no importa el orden, combinaciones.

$V_{n,k} = {n!}/{(n − k)!}$,   $VR_{n,k} = n^k$,   $P_n = n!$

$C_{n,k} = binom(n, k) = {n!}/{k!(n − k)!}$,   $CR_{n,k} = binom(n + k − 1, k)$,   $PR_n^{a,b,…} = {n!}/{a!b!⋯}$

Cuando todos los casos son igualmente probables, la regla de Laplace da la probabilidad como casos favorables entre casos posibles.

$P(A) = {"casos favorables"}/{"casos posibles"}$

Unión, intersección y condicionada

La probabilidad de la unión suma las de cada suceso y resta la intersección, que se habría contado dos veces. La condicionada es la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B.

$P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)$,   $P(A | B) = {P(A ∩ B)}/{P(B)}$

Dos sucesos son independientes si saber que ocurre uno no cambia la probabilidad del otro: P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez (P(A ∩ B) = 0); si ambos tienen probabilidad no nula, nunca son independientes. Las leyes de De Morgan dicen que el contrario de la unión es la intersección de los contrarios.

$P(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B)$

Probabilidad total y teorema de Bayes

Si las causas A₁, …, Aₙ forman un sistema completo (son incompatibles dos a dos y suman 1), la probabilidad de un suceso B es la suma de lo que aporta cada rama del árbol. El teorema de Bayes da la probabilidad de cada causa sabiendo que B ha ocurrido.

$P(B) = ∑ P(A_i)·P(B | A_i)$,   $P(A_i | B) = {P(A_i)·P(B | A_i)}/{P(B)}$

Las probabilidades P(Aᵢ) son las a priori y las P(Aᵢ | B), las a posteriori. Por eso una prueba médica muy fiable puede dar muchos falsos positivos si la enfermedad es rara: la prevalencia pesa mucho en P(B).

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta X toma unos pocos valores, cada uno con su probabilidad. Esas probabilidades forman la función de probabilidad: ninguna es negativa y entre todas suman 1. La función de distribución F(x) acumula la probabilidad hasta x, así que sube a saltos desde 0 hasta 1.

$E[X] = μ = ∑ x_i·p_i$,   $"Var"(X) = E[X^2] − μ^2$,   $σ = √{"Var"(X)}$

La esperanza es el valor medio que saldría al repetir el experimento muchas veces, y la desviación típica mide cuánto se alejan los valores de esa media. Un cambio lineal Y = aX + b mueve la media igual que los valores, pero la varianza no nota el desplazamiento b y se multiplica por a².

$E[aX + b] = a·E[X] + b$,   $"Var"(aX + b) = a^2·"Var"(X)$

Tabla de contingencia de dos sucesos

Cuando un problema da los casos cruzados de dos características (los que hacen deporte y fuman, los que hacen deporte y no fuman…), lo más cómodo es una tabla 2 × 2 con sus totales. Las probabilidades de cada suceso salen de los totales de fila y de columna; la intersección, de la casilla donde se cruzan; y una condicionada, quedándose con una sola fila o columna y dividiendo por su total.

$P(A | B) = {"casos de " A " y " B}/{"casos de " B}$