χ² de bondad de ajuste e independencia, Fisher y McNemar

La idea

Se comparan las frecuencias observadas $O_i$ con las esperadas $E_i$ que habría si la hipótesis nula fuera cierta. Si se parecen, χ² sale pequeño; si se separan mucho, sale grande y se rechaza $H_0$. El contraste es siempre por la derecha.

$χ^2 = ∑ {(O_i − E_i)^2}/{E_i}$

Bondad de ajuste

$H_0$ es el modelo: $E_i = N p_i$, con $p_i$ la probabilidad de cada clase según el modelo. Los grados de libertad son $ν = k − 1 − m$, con $k$ clases y $m$ parámetros estimados de los propios datos (uno para la binomial con n conocido o la Poisson, dos para la normal).

Tablas de contingencia

$H_0$: las dos variables son independientes (o, si cada fila es una población distinta, todas tienen las mismas proporciones: homogeneidad). La cuenta es la misma en los dos casos, con $E_{ij} = {F_i · C_j}/N$ (totales de la fila $i$ y de la columna $j$) y $ν = (r − 1)(c − 1)$. En las tablas 2 × 2 se puede aplicar la corrección de Yates, que resta 0,5 a cada $|O − E|$. La V de Cramér, $V = √({χ^2}/{N (mín(r, c) − 1)})$, mide la fuerza de la relación entre 0 y 1.

Residuos: dónde está la asociación

El χ² dice que hay asociación, pero no entre qué categorías. El residuo tipificado de cada casilla, $r_{ij} = {O_{ij} − E_{ij}}/√{E_{ij}(1 − F_i/N)(1 − C_j/N)}$, es aproximadamente $N(0, 1)$ bajo $H_0$: los que pasan de ±2 (marcados con ⚑) son las casillas con más o menos casos de los esperables por azar.

Test exacto de Fisher (2 × 2)

Con pocos datos (alguna esperada menor que 5) el χ² no vale. Fisher no usa aproximaciones: fija los márgenes de la tabla y calcula la probabilidad exacta de cada tabla posible con la hipergeométrica, $P(X = k) = {\binom{F_1}{k}\binom{F_2}{C_1 − k}}/{\binom{N}{C_1}}$. El p-valor bilateral suma las tablas tan improbables como la observada o más. Da también el odds ratio muestral $n_{11} n_{22}/(n_{12} n_{21})$.

McNemar (datos apareados)

Cuando los dos «grupos» son las mismas personas medidas antes y después (sí/no), solo importan los que cambian: $b$ (de sí a no) y $c$ (de no a sí). $χ^2 = (|b − c| − 1)^2/(b + c)$ con 1 grado de libertad; si $b + c$ es pequeño, mejor el p-valor exacto, que es el de una binomial $B(b + c, 1/2)$.

Cuándo vale la aproximación

La distribución χ² es una aproximación que funciona bien cuando todas las frecuencias esperadas son al menos 5. Si no, se juntan clases vecinas (cada clase que se junta resta un grado de libertad).