Intervalos de confianza

Qué es un intervalo de confianza

Con una muestra se estima un parámetro de la población (la media μ, una proporción p, la varianza σ²…). Un intervalo de confianza al 95 % es un intervalo calculado con un método que acierta, es decir que contiene el valor real, en el 95 % de las muestras. Por eso la simulación sale con unos 95 intervalos verdes de cada 100. El nivel de confianza es 1 − α, y α es la probabilidad de fallar, repartida en dos colas de α/2.

Media de una población

Si se conoce la desviación típica de la población σ, se usa la normal tipificada:

IC_1−α(μ) = (x̄ − z_α/2·σ/√n,   x̄ + z_α/2·σ/√n)

Los valores más usados son z_0,05 = 1,645 (90 %), z_0,025 = 1,96 (95 %) y z_0,005 = 2,576 (99 %). Si σ no se conoce, se cambia por la cuasidesviación de la muestra s (la que divide entre n − 1) y z por la t de Student con n − 1 grados de libertad, t_{n−1; α/2}. Para n grande las dos dan casi lo mismo.

Proporción

IC_1−α(p) = (p̂ − z_α/2·√(p̂q̂/n),   p̂ + z_α/2·√(p̂q̂/n)),   q̂ = 1 − p̂

Vale cuando la muestra es grande (np̂ y nq̂ por encima de 5).

Ese intervalo normal (de Wald) es el de clase, pero falla con pocos éxitos o fracasos: puede salirse de [0, 1] o quedarse en un punto. Hay tres alternativas. El de Wilson despeja p de la desigualdad en vez de estimar el error con p̂ y funciona bien con cualquier n. El exacto de Clopper-Pearson sale de la propia binomial y garantiza al menos la confianza pedida, a cambio de ser algo más ancho. El de Agresti-Coull es el normal de siempre después de añadir z² observaciones, la mitad éxitos (con el 95 %, «sumar 2 éxitos y 2 fracasos»).

Wilson:   (p̂ + z²/(2n) ± z·√(p̂q̂/n + z²/(4n²)))/(1 + z²/n)

Predicción y tolerancia

El intervalo de confianza habla de la media μ. Si lo que se quiere saber es dónde caerá el próximo dato, hace falta un intervalo de predicción, que suma la dispersión de un dato a la incertidumbre de la media:

IP_1−α = x̄ ± t_{n−1; α/2}·s·√(1 + 1/n)

Y si se quiere un intervalo que contenga una proporción de toda la población (por ejemplo, el 90 % de las piezas), es un intervalo de tolerancia x̄ ± k·s, con un factor k que depende de n, de la proporción y de la confianza. Los dos suponen que la población es normal y, a diferencia del de la media, no se estrechan hasta cero al aumentar la muestra.

Varianza

(n − 1)s²/σ² sigue una χ² con n − 1 grados de libertad. Como no es simétrica, el intervalo usa dos valores críticos distintos:

IC_1−α(σ²) = ((n − 1)s²/χ²_α/2,   (n − 1)s²/χ²_1−α/2)

El de la desviación típica σ se obtiene con la raíz de los dos extremos.

Datos apareados

Si las dos medidas se hacen sobre los mismos individuos (antes y después, dos aparatos sobre la misma pieza), no son muestras independientes. Se calculan las diferencias d_i = x_1i − x_2i y se trata como una sola muestra con la t de Student de n − 1 grados de libertad:

IC_1−α(μ_d) = (d̄ − t_{n−1; α/2}·s_d/√n,   d̄ + t_{n−1; α/2}·s_d/√n)

Cociente de varianzas

Con dos poblaciones normales, (s₁²/σ₁²)/(s₂²/σ₂²) sigue una F de Snedecor con (n₁ − 1, n₂ − 1) grados de libertad, que tampoco es simétrica:

IC_1−α(σ₁²/σ₂²) = ((s₁²/s₂²)/F_α/2,   (s₁²/s₂²)/F_1−α/2),   F_1−α/2(n₁ − 1, n₂ − 1) = 1/F_α/2(n₂ − 1, n₁ − 1)

Si el intervalo contiene el 1, se pueden suponer varianzas iguales en la diferencia de medias.

Cotas: intervalos unilaterales

Cuando solo interesa un mínimo (la duración de una bombilla) o un máximo (la proporción de piezas defectuosas), toda α va a una cola: la cota inferior de una media es x̄ − z_α·σ/√n y el intervalo es (x̄ − z_α·σ/√n; +∞). Con la misma confianza, la cota queda más cerca de la estimación que el extremo del intervalo bilateral, porque z_α es menor que z_α/2.

Población finita

Si la muestra se saca sin reemplazamiento de una población de N elementos y no es pequeña frente a ella (más de un 5 %), el error se multiplica por el factor de corrección √((N − n)/(N − 1)). En el tamaño de la muestra, n = n₀/(1 + (n₀ − 1)/N), donde n₀ es el que saldría con una población infinita.

Contraste con el intervalo

Un contraste bilateral de H₀: θ = θ₀ con nivel de significación α se rechaza justo cuando θ₀ queda fuera del intervalo de confianza 1 − α. Con una cota inferior se contrasta H₁: θ > θ₀, y con una superior H₁: θ < θ₀.

Error máximo y tamaño de la muestra

El error máximo E es la mitad de la anchura del intervalo. Despejando n de E = z_α/2·σ/√n sale n = (z_α/2·σ/E)², y para una proporción n = z_α/2²·pq/E², con p = 0,5 si no hay una estimación previa. Para comparar dos medias con muestras del mismo tamaño, n = z_α/2²(σ₁² + σ₂²)/E² en cada una. Siempre se redondea hacia arriba. Para reducir el error a la mitad hace falta cuatro veces más muestra.