Propagación de errores

Propagación con derivadas parciales

Si una magnitud se calcula como $f(x, y, …)$ a partir de medidas con incertidumbres $Δx$, $Δy$…, cada una aporta su derivada parcial por su incertidumbre. Si los errores son independientes se suman en cuadratura; la cota lineal (sumar los valores absolutos) da el peor caso posible y es la que se usa en muchos guiones de prácticas:

$Δf = √(({∂f}/{∂x} Δx)^2 + ({∂f}/{∂y} Δy)^2 + …)$
$Δf ≤ |{∂f}/{∂x}| Δx + |{∂f}/{∂y}| Δy + …$

Para productos y cocientes de potencias, $f = x^a y^b$, se suman los errores relativos: ${Δf}/{f} = √((a {Δx}/{x})^2 + (b {Δy}/{y})^2)$. Por eso la medida que va elevada a una potencia alta, como el periodo en $g = 4π^2 l/T^2$, es la que más pesa.

Cómo se redondea el resultado

La incertidumbre se da con una cifra significativa, o con dos si la primera es un 1 (0,014 y no 0,01). El valor se redondea hasta la misma cifra decimal que la incertidumbre y se escriben juntos con la unidad: $g = (9,81 ± 0,05)$ m/s². Escribir $9,810652 ± 0,05$ es un error: las últimas cifras no significan nada.

Medidas repetidas

Con n medidas de lo mismo se toma la media. La dispersión se mide con la desviación típica $s$ (entre $n − 1$), y la media se separa del valor verdadero en torno a $s/√n$, el error de la media. Se combina en cuadratura con la resolución del aparato: si manda el aparato, medir más veces no mejora nada.

Variables correlacionadas

La suma en cuadratura solo vale si los errores son independientes. Si dos variables suben y bajan juntas (se han medido con el mismo aparato mal calibrado, o salen las dos de un mismo ajuste) hay que añadir un término cruzado con su covarianza, $"cov"(x, y) = r · Δx · Δy$, donde $r$ es el coeficiente de correlación, entre −1 y 1. El término lleva el signo de las derivadas, así que puede aumentar el error o reducirlo: en una suma con $r > 0$ los errores se refuerzan, y en una resta se compensan.

$Δf^2 = ({∂f}/{∂x} Δx)^2 + ({∂f}/{∂y} Δy)^2 + 2 {∂f}/{∂x} {∂f}/{∂y} "cov"(x, y)$

Media ponderada

Cuando hay varias medidas de la misma magnitud con incertidumbres distintas, no pesan todas igual: cada una entra con peso $w_i = 1/σ_i^2$. La incertidumbre de la media es menor que la de la mejor medida. El $χ^2$ reducido dice si las medidas son compatibles entre sí: cerca de 1, lo son; si es bastante mayor, se separan más de lo que dicen sus incertidumbres, y aquí la incertidumbre de la media se amplía multiplicándola por $√{χ^2_"red"}$.

$x̄ = {∑ w_i x_i}/{∑ w_i}$,   $σ_{x̄} = 1/√{∑ w_i}$,   $χ^2_"red" = 1/{n − 1} ∑ ({x_i − x̄}/{σ_i})^2$

Comparar con el valor aceptado

Para saber si un resultado concuerda con el valor de las tablas no basta con el tanto por ciento de diferencia: hay que medir la discrepancia en incertidumbres, $z = |x − x_"ac"|/√{Δx^2 + Δx_"ac"^2}$. Hasta 1 σ el resultado es compatible; hasta 2 σ, compatible a 2σ (pasa en una de cada tres medidas correctas); entre 2 y 3 σ es dudoso, y por encima de 3 σ es incompatible: hay un error sistemático o la incertidumbre está subestimada.