Ciclos termodinámicos y máquinas térmicas

Primer principio en un ciclo

Con W el trabajo que hace el gas, $ΔU = Q − W$. En un gas ideal $ΔU = n C_v ΔT$, con $C_v = {3}/{2} R$ si es monoatómico y ${5}/{2} R$ si es diatómico. Al cerrar el ciclo el gas vuelve a su estado inicial, $ΔU = 0$, y el trabajo neto es igual al calor neto: es el área encerrada en el diagrama p-V.

• Isoterma: $ΔU = 0$, $Q = W = n R T ln {V_2}/{V_1}$.
• Adiabática: $Q = 0$, $P V^γ$ = cte, $T V^{γ − 1}$ = cte y $W = −ΔU$.
• Isocora: $W = 0$ y $Q = n C_v ΔT$.
• Isobara: $W = P ΔV$ y $Q = n C_p ΔT$.

Rendimiento

$η = {W_{neto}}/{Q_{abs}} = 1 − {|Q_{ced}|}/{Q_{abs}}$

Ciclo de Carnot

Dos isotermas y dos adiabáticas entre un foco caliente a $T_c$ y uno frío a $T_f$. Es reversible y tiene el mayor rendimiento posible entre esas dos temperaturas:

$η_C = 1 − T_f/T_c$

Ciclos Otto y Diesel

El Otto (motor de gasolina) tiene dos adiabáticas y dos isocoras; su rendimiento solo depende de la relación de compresión $r = V_1/V_2$: $η = 1 − r^{1 − γ}$. En el Diesel la combustión es a presión constante, con relación de corte $r_c = V_3/V_2$, y permite relaciones de compresión mucho mayores.

$η_{Diesel} = 1 − {r_c^γ − 1}/{γ r^{γ − 1} (r_c − 1)}$

Ciclos Brayton y Stirling

El Brayton (turbinas de gas y aviones) tiene dos adiabáticas y dos isobaras: el compresor sube la presión en una relación $r_p = P_2/P_1$ y $η = 1 − r_p^{−(γ − 1)/γ}$. El Stirling tiene dos isotermas y dos isocoras; con un regenerador que guarda el calor de una isocora y lo devuelve en la otra, alcanza el rendimiento de Carnot.

Diagrama T-S

La entropía de un gas ideal cambia en $ΔS = n C_v ln {T_b}/{T_a} + n R ln {V_b}/{V_a}$. En el diagrama T-S las adiabáticas reversibles son verticales y las isotermas, horizontales: el Carnot es un rectángulo. El calor de un tramo es el área bajo la curva, $Q = ∫ T dS$, y el área encerrada es el trabajo neto.

Potencia de un motor

En un motor de cuatro tiempos cada cilindro completa un ciclo cada dos vueltas del cigüeñal, así que $P = N_{cil} · W · rpm/120$, con W el trabajo de un ciclo en julios.

Para encadenar transformaciones a partir de un estado (y la teoría cinética de los gases), abre Gases ideales.

Frigoríficos y bombas de calor

Usan trabajo para llevar calor del foco frío al caliente. Su eficiencia es $COP = Q_f/W$ para un frigorífico y $COP = Q_c/W$ para una bomba de calor, como mucho ${T_f}/{T_c − T_f}$ y ${T_c}/{T_c − T_f}$. Ninguna máquina puede superar a la de Carnot: si lo hiciera, la entropía del universo disminuiría (segundo principio).