Fluidos

Presión hidrostática

En un líquido en reposo la presión aumenta con la profundidad h, y solo depende de ella, no de la forma del recipiente (es la paradoja hidrostática):

$p = p_0 + ρ g h$

con ρ la densidad del líquido y $p_0$ la presión en la superficie, normalmente la atmosférica, 101 325 Pa. La parte $ρ g h$ es la presión manométrica, la que marca un manómetro. En el agua la presión sube 1 atm cada 10,3 m. A una misma profundidad empuja igual en todas direcciones.

Tubo en U

Con dos líquidos que no se mezclan, a la altura de la superficie de separación la presión es la misma en las dos ramas, así que $ρ_1 h_1 = ρ_2 h_2$ (alturas medidas desde esa superficie). Sirve para medir la densidad de un líquido o presiones con un manómetro de mercurio.

Principio de Pascal y prensa hidráulica

Un cambio de presión en un líquido encerrado se transmite igual a todo él. En una prensa hidráulica

${F_1}/{A_1} = {F_2}/{A_2}$,   $A_1 x_1 = A_2 x_2$

La fuerza se multiplica por la relación de áreas, el cuadrado de la de diámetros, y el recorrido se divide por lo mismo: el trabajo que se hace es igual a los dos lados.

Principio de Arquímedes

Un cuerpo sumergido recibe un empuje hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja:

$E = ρ_f V_s g$

• Si el cuerpo es menos denso que el fluido, flota con una fracción sumergida $V_s/V = ρ/ρ_f$: un iceberg tiene fuera del agua solo un 10 %.
• Si es más denso, se hunde y dentro del fluido pesa menos: su peso aparente es $P − E$.
• Pesándolo en el aire y dentro del agua se saca su densidad, $ρ = ρ_f P/(P − P_{ap})$, que es como Arquímedes comprobó si la corona era de oro puro (19 300 kg/m³).

Continuidad y Bernoulli

En una tubería con un fluido ideal (incompresible y sin viscosidad), el caudal es el mismo en todas las secciones y la energía por unidad de volumen se conserva:

$Q = A_1 v_1 = A_2 v_2$,   $p_1 + {1}/{2} ρ v_1^2 + ρ g h_1 = p_2 + {1}/{2} ρ v_2^2 + ρ g h_2$

Donde el tubo se estrecha, el fluido va más deprisa y la presión baja (efecto Venturi); por eso se miden caudales con un estrechamiento y dos tubos verticales.

Teorema de Torricelli

Por un agujero a una profundidad H bajo la superficie de un depósito abierto, el líquido sale con la velocidad de una caída libre desde esa altura:

$v = √(2 g H)$

Si el agujero está a una altura y del suelo, el chorro llega a $x = 2 √(H y)$. Un depósito de diámetro D con un agujero de diámetro d se vacía en $t = (D/d)^2 √(2 H/g)$.

Tubo de Pitot y medidor de Venturi

Un tubo de Pitot tiene una boca que frena el fluido y una toma lateral: la diferencia de presión es $Δp = {1}/{2} ρ v^2$, y con un manómetro en U de líquido de densidad $ρ_m$, $Δp = (ρ_m − ρ) g Δh$. En un medidor de Venturi se mide la caída de presión en un estrechamiento y, con la continuidad, $v_1 = √({2 Δp}/{ρ ((A_1/A_2)^2 − 1)})$.

Viscosidad

Un fluido real roza consigo mismo. Por un tubo de radio r en régimen laminar circula un caudal $Q = {π r^4 Δp}/{8 η L}$ (ley de Poiseuille), con η la viscosidad; el perfil de velocidades es parabólico. Una esfera que cae en un fluido viscoso sufre una fuerza $F = 6 π η r v$ (ley de Stokes) y alcanza la velocidad límite $v = {2 r^2 (ρ_e − ρ_f) g}/{9 η}$. Las dos leyes valen con números de Reynolds pequeños, $Re = ρ v d/η$.

Fuerza sobre una pared

Sobre una pared vertical de anchura b la presión crece con la profundidad. La fuerza es la presión en el centro de la superficie por el área, $F = ρ g h_G A$ (para una presa mojada hasta H, ${1}/{2} ρ g b H^2$), y actúa en el centro de presiones, más abajo: $y_P = h_G + {h^2}/{12 h_G}$, a 2H/3 de profundidad en la presa.

Tensión superficial y capilaridad

La superficie de un líquido se comporta como una membrana tensa, con una fuerza por unidad de longitud γ. En un tubo fino, el líquido sube (o baja, si no moja) una altura $h = {2 γ cos θ}/{ρ g r}$ (ley de Jurin): cuanto más fino el tubo, más.