Oscilaciones acopladas
Dos masas unidas por muelles: calcula las frecuencias de sus modos normales, cómo se mueve cada masa según cómo la sueltes, el batido que aparece cuando el acoplo es débil y cuánto tarda la energía en pasar de una masa a la otra.
Datos
Resultados
Gráfica
Desarrollo
Qué es un modo normal
En un sistema de dos masas acopladas, cada una empuja a la otra a través del muelle central, y los movimientos no son independientes. Pero siempre existen dos formas especiales de moverse, los modos normales, en las que las dos masas oscilan a la vez con la misma frecuencia $ω$: $x_1 = a_1 cos(ω t)$ y $x_2 = a_2 cos(ω t)$. Sustituyendo en las ecuaciones $m_1 x_1″ = −(k_1 + k_c) x_1 + k_c x_2$ y $m_2 x_2″ = k_c x_1 − (k_c + k_2) x_2$ queda un sistema lineal cuyas soluciones solo existen si $(A − ω^2)(D − ω^2) − B C = 0$.
Dos masas iguales
Con $m_1 = m_2 = m$ y $k_1 = k_2 = k$ los modos son sencillos: en el primero las masas van en fase, el muelle central no se estira y $ω_1 = √(k/m)$; en el segundo van en oposición de fase y $ω_2 = √((k + 2 k_c)/m)$. Cualquier movimiento es la suma de ambos, y por eso hay dos constantes de cada tipo (amplitud y fase) que se fijan con las cuatro condiciones iniciales.
Batidos y transferencia de energía
Si se suelta solo una masa, se excitan los dos modos por igual y $x_1 = A cos((ω_2 − ω_1) t/2) cos((ω_1 + ω_2) t/2)$: la amplitud de cada masa sube y baja lentamente (el batido) mientras oscilan deprisa. La energía pasa por completo de una masa a la otra cada $π/(ω_2 − ω_1)$; con acoplo débil las dos frecuencias se parecen y el intercambio es lento, como en dos péndulos unidos por un hilo.
Preguntas frecuentes
¿Qué son los modos normales de dos masas acopladas?
Son las dos formas de moverse en que las dos masas oscilan a la vez con la misma frecuencia. Con m₁ = m₂ = 1 kg, k₁ = k₂ = 100 N/m y kc = 10 N/m, el modo en fase tiene ω₁ = √(k/m) = 10 rad/s y el modo en oposición ω₂ = √((k + 2kc)/m) = √120 ≈ 10,95 rad/s.
¿Por qué aparece un batido y cuánto tarda la energía en pasar de una masa a la otra?
Si se suelta solo una masa se excitan los dos modos por igual y la amplitud de cada masa sube y baja lentamente. La energía pasa entera de una a otra en π/(ω₂ − ω₁); con las frecuencias de arriba son π/0,954 ≈ 3,29 s.