Cinemática relativista y diagramas de Minkowski

Transformación de Lorentz

Si el sistema $S′$ se mueve con velocidad $v$ respecto de $S$ en el sentido de $x$ y los orígenes coinciden en $t = t′ = 0$, un evento de coordenadas $(x, t)$ en $S$ tiene en $S′$ las coordenadas $x′ = γ (x − β c t)$ y $c t′ = γ (c t − β x)$, con $β = v/c$ y $γ = 1/√(1 − β^2)$. Para $β ≪ 1$ se recupera la transformación de Galileo.

El diagrama de Minkowski

Se dibuja $c t$ en vertical y $x$ en horizontal, de modo que la luz sigue las diagonales a 45°. La línea de mundo del origen de $S′$ es el eje $c t′$, con pendiente $1/β$, y el eje $x′$ queda inclinado el mismo ángulo en sentido contrario, $c t = β x$. Las coordenadas de un evento en $S′$ se leen trazando paralelas a esos ejes. Los dos sistemas ven el mismo diagrama; solo cambia la cuadrícula.

Suma de velocidades y rapidez

Si un objeto va a $u$ respecto de una nave que va a $v$, respecto del suelo va a $w = (u + v)/(1 + u v/c^2)$, nunca más que $c$. La rapidez $φ = "atanh"(β)$ convierte esa regla en una suma: $φ_w = φ_u + φ_v$.

Intervalo, tiempo propio y causalidad

La cantidad $s^2 = (c Δt)^2 − Δx^2$ es la misma en todos los sistemas. Si es positiva (tipo tiempo), hay un sistema donde los dos eventos ocurren en el mismo lugar y $Δτ = √(s^2)/c$ es el tiempo propio; el orden de los eventos no depende del observador. Si es negativa (tipo espacio), hay un sistema donde son simultáneos, el orden depende del observador y no hay causalidad posible. Si es cero, los une la luz.