Tiro parabólico y cinemática

Ecuaciones del tiro parabólico

Sin rozamiento el movimiento se separa en dos: en horizontal es uniforme (MRU) y en vertical uniformemente acelerado con $a = −g$ (MRUA).

$x = v_0 cos α · t$   $y = y_0 + v_0 sen α · t − 1/2 g t^2$

La altura máxima se alcanza cuando $v_y = 0$, en $t = {v_0 sen α}/g$, y vale $y_0 + {v_0^2 sen^2 α}/{2g}$. Si sale y cae a la misma altura, el alcance es $R = {v_0^2 sen 2α}/g$, máximo a 45°. Eliminando t sale la ecuación de la trayectoria, una parábola:

$y = y_0 + x tg α − {g x^2}/{2 v_0^2 cos^2 α}$

Si sale desde una altura $h$ por encima del suelo, el ángulo de alcance máximo es algo menor que 45°: $tg α = v_0/√(v_0^2 + 2gh)$. Con la misma $v_0$ y todos los ángulos posibles, ninguna trayectoria pasa por encima de la parábola de seguridad $y = y_0 + v_0^2/(2g) − {g x^2}/{2 v_0^2}$. Despejando $v_0$ de la ecuación de la trayectoria sale la velocidad necesaria para acertar a un blanco con un ángulo dado.

Con rozamiento del aire

Con una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, $a = −g ĵ − (b/m) v$, las ecuaciones siguen teniendo solución exacta con exponenciales y la velocidad de caída tiende a $v_L = {m g}/b$. Con rozamiento cuadrático, $a = −g ĵ − (c/m) |v| v$, que es lo que pasa con una pelota real, hay que integrar numéricamente. En los dos casos la trayectoria deja de ser simétrica: baja más empinada de lo que sube.

MRU y MRUA

$x = x_0 + v_0 t + 1/2 a t^2$   $v = v_0 + a t$   $v^2 = v_0^2 + 2a(x − x_0)$

En la gráfica x(t) la pendiente es la velocidad, y en v(t) la pendiente es la aceleración y el área bajo la curva es el desplazamiento.

Dos móviles en la misma recta se encuentran cuando están en el mismo sitio a la vez: $x_A(t) = x_B(t)$, una ecuación de primer o segundo grado en t.

Movimiento circular

En el MCU la velocidad angular es constante: $θ = ω t$, $v = ω R$, $T = 2π/ω$ y $f = 1/T$. Aunque el módulo de la velocidad no cambia, su dirección sí, y hay una aceleración hacia el centro, la centrípeta: $a_n = ω^2 R = v^2/R$.

En el MCUA la aceleración angular α es constante: $ω = ω_0 + α t$ y $θ = ω_0 t + 1/2 α t^2$, igual que el MRUA cambiando x por θ. Aparece además una aceleración tangencial $a_t = α R$, y la total es $|a| = √(a_n^2 + a_t^2)$.