Efecto Doppler

La fórmula del efecto Doppler

Cuando una fuente que emite con frecuencia f y un observador se mueven a lo largo de la recta que los une, el observador percibe

$f′ = f (v + v_O)/(v − v_F)$

con v la velocidad del sonido en el aire en reposo (unos 340 m/s a 15 °C, 343 m/s a 20 °C), v_O la del observador y v_F la de la fuente, positivas cuando van el uno hacia el otro y negativas cuando se alejan. Si se acercan se oye más agudo y si se alejan, más grave. Es el mismo convenio que usan casi todos los libros de bachillerato y de primero de carrera; otros ponen un ± y hay que elegir el signo en cada caso.

• Si se mueve la fuente, cambia la longitud de onda: delante, $λ′ = (v − v_F)/f$, los frentes se apelotonan.
• Si se mueve el observador, la longitud de onda no cambia, pero los frentes le llegan con más o menos frecuencia.
• Si sopla viento a velocidad w de la fuente hacia el observador, se cambia v por v + w (y por v − w si sopla al revés).

Una fuente que pasa de largo

Mientras se acerca se oye $f_1 = f v/(v − v_F)$ y cuando ya ha pasado, $f_2 = f v/(v + v_F)$. Si conoces las dos frecuencias, la velocidad de la fuente es

$v_F = v (f_1 − f_2)/(f_1 + f_2)$

Si el observador está a un lado de la carretera solo cuenta la componente de la velocidad hacia él, $v_F cos α$, y el tono baja poco a poco en vez de cambiar de golpe.

Eco en un obstáculo que se mueve

El obstáculo recibe la onda como un observador y la devuelve como una fuente que se mueve, así que hay dos efectos Doppler seguidos. Con el emisor quieto y el obstáculo acercándose a velocidad u:

$f″ = f (v + u)/(v − u)$,   $Δf ≈ 2 u f/v$ si $u ≪ v$

Así funcionan los radares de tráfico (con ondas electromagnéticas, v = c), las ecografías Doppler que miden la velocidad de la sangre y la ecolocación de los murciélagos.

Onda de choque y cono de Mach

Si la fuente va más deprisa que el sonido, los frentes se quedan atrás y su envolvente forma un cono. El número de Mach y el semiángulo del cono son

$M = v_F/v$,   $sen θ = v/v_F = 1/M$

El estampido sónico se oye cuando el cono llega al observador, no cuando el avión rompe la barrera del sonido: un avión a una altura h ya ha recorrido $h/tg θ$ más allá de la vertical.

Y con la luz

Con la luz no hay medio, solo importa la velocidad relativa u entre fuente y observador, y la fórmula es la relativista $f′ = f √((1 + β)/(1 − β))$ con $β = u/c$ positiva si se acercan. Para velocidades pequeñas da lo mismo que la del sonido, por eso los radares usan $Δf ≈ 2 u f/c$.

En astronomía se mide la longitud de onda y se usa el corrimiento $z = λ′/λ − 1$: si la fuente se aleja, $λ′ = λ √((1 + β)/(1 − β))$ y la luz se corre al rojo; despejando, $β = (R^2 − 1)/(R^2 + 1)$ con $R = λ′/λ$. Si la fuente se mueve perpendicular a la visual queda el Doppler transversal, $λ′ = γ λ$, que no existe en la física clásica y se debe a la dilatación del tiempo.

Si la fuente o el observador se mueven en otra dirección, en todas las fórmulas se pone solo la componente de su velocidad a lo largo de la recta que los une: $v_F cos α$.